Если x и y являются целыми числами и 5x+2y делится на 17, то под каким условием 9x+7y также будет делиться

Жанна

51

Хорошо! Для решения этой задачи, нам нужно найти условие, при котором выражение \(9x + 7y\) будет делиться на 17, зная, что \(5x + 2y\) делится на 17.

Давайте начнем с того, что разложим числа 5 и 17 на простые множители:

\(5 = 1 \cdot 5\)
\(17 = 1 \cdot 17\)

Теперь мы можем записать выражение \(5x + 2y\) в виде суммы простых множителей:

\(5x + 2y = (1 \cdot 5) \cdot x + (1 \cdot 2) \cdot y\)

Далее, поскольку \(5x + 2y\) делится на 17, мы можем заменить \(5x + 2y\) на \(17n\), где n - некоторое целое число:

\(17n = (1 \cdot 5) \cdot x + (1 \cdot 2) \cdot y\)

Теперь мы можем разложить число 17 на простые множители:

\(17 = 1 \cdot 17\)

И преобразовать наше уравнение:

\(17n = 5x + 2y\)

Теперь, чтобы найти условие, при котором \(9x + 7y\) также будет делиться на 17, нам нужно выразить \(9x + 7y\) через \(5x + 2y\) и n. Для этого мы умножим уравнение \(17n = 5x + 2y\) на 9 и вычтем уравнение \(9x + 7y\) из полученного выражения:

\(9 \cdot (17n) - (9x + 7y) = 9 \cdot (5x + 2y) - (9x + 7y)\)

\(153n - (9x + 7y) = 45x + 18y - 9x - 7y\)

Сокращая подобные слагаемые, получаем:

\(153n - (9x + 7y) = 36x + 11y\)

Теперь мы получили выражение \(36x + 11y\) через \(9x + 7y\). Чтобы \(9x + 7y\) также делилось на 17, необходимо и достаточно, чтобы выражение \(153n - (9x + 7y)\) также делилось на 17.

Итак, условие, при котором \(9x + 7y\) будет делиться на 17, выглядит следующим образом:

\(153n - (9x + 7y)\) делится на 17.

Это условие следует проверить для всех целочисленных значений x, y и n, чтобы убедиться, что оно верно для всех возможных случаев.