Есть круг с центром в точке О и радиусом 4 см. Через точку D проведена касательная к этому кругу (D - точка касания

Yablonka

53

Для начала, давайте взглянем на геометрическую ситуацию. У нас есть круг с центром в точке O и радиусом 4 см. Через точку D проведена касательная к этому кругу, и точка D является точкой касания.

Далее, на касательной от точки D отложены два отрезка: AD и BD. Обозначим точку пересечения отрезков AD и BD как точку M. Также, пусть точка O" - это проекция точки O на прямую AB.

Так как угол AOD равен углу BOD, то треугольники AOD и BOD являются подобными. Также мы можем заметить, что треугольники AOD и O"MD также являются подобными.

Давайте разберемся с подобиями треугольников и найдем расстояния от центра O до точек A и B.

1. Подобие треугольников AOD и BOD:
Так как треугольники AOD и BOD подобны, отношение соответственных сторон равно отношению радиусов.
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AO}{BO}=\frac{4}{4}=1$$

Из этого следует, что отрезки AD и BD равны.

2. Подобие треугольников AOD и O"MD:
Так как треугольники AOD и O"MD подобны, отношение соответственных сторон также равно отношению радиусов.
$$\frac{AD}{O"M}=\frac{AO}{OO"}=\frac{4}{OO"}$$

Мы знаем, что AD = BD, поэтому AD + BD = 2AD.
Следовательно, 2AD = AM + DM. Подставим AD = AM в предыдущее уравнение.
$$AM+DM=\frac{4}{OO"}\cdot AM$$
$$DM=\frac{4}{OO"}\cdot AM-AM$$
$$DM=AM(\frac{4}{OO"}-1)$$

Так как OD является высотой треугольника AOD, а O"M является его проекцией на сторону AM, мы можем применить теорему Пифагора для треугольника O"O"M. Получим:
$$OO{"}^2=O"M^2+O"O^2$$
Заметим, что O"M = DM и O"O = OA - OD = 4 - AM. Подставим это значение в предыдущее уравнение.
$$OO{"}^2=D{M}^2+(4-AM{)}^2$$

Теперь у нас есть два уравнения:
$$\frac{AD=AM=BD}{OO"}=1$$
$$OO{"}^2=D{M}^2+(4-AM{)}^2$$

Давайте решим первое уравнение.
У нас есть AD = AM = BD, и они образуют отрезок AB. Обозначим эту длину как x.

Теперь мы можем приступить к решению второго уравнения. Подставим AD = x и DM = AM $({\displaystyle \frac{4}{OO"}}-1)$ во второе уравнение.
$$OO{"}^2={\left(AM({\displaystyle \frac{4}{OO"}}-1)\right)}^2+(4-AM{)}^2$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$OO{"}^2=A{M}^2{({\displaystyle \frac{4}{OO"}}-1)}^2+(4-AM{)}^2$$
$$OO{"}^2=A{M}^2({\displaystyle \frac{16}{OO{"}^2}}-{\displaystyle \frac{8}{OO"}}+1)+(4-AM{)}^2$$
$$OO{"}^2={\displaystyle \frac{16A{M}^2}{OO{"}^2}}-{\displaystyle \frac{8A{M}^2}{OO"}}+A{M}^2+(4-AM{)}^2$$

Для удобства введем обозначение $OO{"}^2=y$. Подставим его в уравнение.
$$y={\displaystyle \frac{16A{M}^2}{y}}-{\displaystyle \frac{8A{M}^2}{\sqrt{y}}}+A{M}^2+(4-AM{)}^2$$

Теперь у нас есть уравнение относительно переменной AM. Решим его.

$$y={\displaystyle \frac{16A{M}^2}{y}}-{\displaystyle \frac{8A{M}^2}{\sqrt{y}}}+A{M}^2+(4-AM{)}^2$$

Сначала умножим обе части уравнения на $y$ для избавления от дробей.

$$y^2=16A{M}^2-8A{M}^2\sqrt{y}+A{M}^{2}y+y(4-AM{)}^2$$

Далее разложим скобку $(4-AM{)}^2$.

$$y^2=16A{M}^2-8A{M}^2\sqrt{y}+A{M}^{2}y+y(16-8AM+A^2{M}^2)$$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и сократим подобные члены.

$$y^2-16A{M}^2-A{M}^{2}y-A^2{M}^{2}y+8A{M}^2\sqrt{y}-16y+8AMy=0$$

$$y^2-(A^2{M}^2+A{M}^2+16)y+(8A{M}^2-16y)=0$$

Теперь это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, используя квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$.

$$y={\displaystyle \frac{(A^2{M}^2+A{M}^2+16)\pm \sqrt{(A^2{M}^2+A{M}^2+16{)}^2-4(8A{M}^2-16y)}}{2}}$$

Уравнение имеет два корня $y_1$ и $y_2$. Оба корня будут положительными, поскольку расстояние всегда является положительной величиной.

Теперь, зная значения $y_1$ и $y_2$, мы можем найти значения AM, которые соответствуют этим корням. Подставим найденное значение для AM в наше первое уравнение AD = AM = BD = x, чтобы найти расстояние от центра O до точек A и B.

Это пошаговое решение задачи. Если есть какие-то вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, дайте знать!