Где на параболе x^2=9y абсцисса увеличивается в два раза быстрее, чем ордината? (ответ: (9/4, 9/16

Yangol

64

Для решения данной задачи, давайте посмотрим на уравнение параболы \(x^2 = 9y\). Мы хотим найти точку на этой параболе, где абсцисса \(x\) увеличивается в два раза быстрее, чем ордината \(y\).

Для начала, вспомним, что абсцисса и ордината - это координаты точек на плоскости. Таким образом, мы можем представить наше уравнение параболы в виде координат точек.

У нас есть уравнение параболы \(x^2 = 9y\). Чтобы найти точку, где абсцисса увеличивается в два раза быстрее, чем ордината, нам нужно найти такие значения \(x\) и \(y\), где \(x\) будет увеличиваться в два раза быстрее, чем \(y\).

Для этого давайте предположим, что \(x\) увеличивается в два раза быстрее, чем \(y\) и напишем это в виде математического соотношения:

\(\frac{dx}{dt} = 2 \cdot \frac{dy}{dt}\),

где \(\frac{dx}{dt}\) обозначает скорость изменения \(x\) по времени, а \(\frac{dy}{dt}\) - скорость изменения \(y\) по времени. Исходя из этого соотношения, у нас есть следующая система уравнений:

\(\frac{dx}{dt} = 2 \cdot \frac{dy}{dt}\) (1)
\(x^2 = 9y\) (2)

Теперь продифференцируем уравнение (2) по времени, чтобы получить уравнение для \(\frac{dx}{dt}\) и \(\frac{dy}{dt}\). Применим правило цепочки для дифференцирования:

\(\frac{d}{dt}(x^2) = \frac{d}{dt}(9y)\)

\(2x \cdot \frac{dx}{dt} = 9 \cdot \frac{dy}{dt}\)

Используя соотношение (1), мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

\(2x \cdot 2 \cdot \frac{dy}{dt} = 9 \cdot \frac{dy}{dt}\)

\(4x = 9\)

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(x\):

\(4x = 9\)

\(x = \frac{9}{4}\)

Таким образом, у нас есть значение \(x = \frac{9}{4}\) для точки на параболе, где абсцисса \(x\) увеличивается в два раза быстрее, чем ордината \(y\).

Для нахождения соответствующего значения \(y\) мы можем подставить \(x = \frac{9}{4}\) в уравнение (2):

\(\left(\frac{9}{4}\right)^2 = 9y\)

\(\frac{81}{16} = 9y\)

\(y = \frac{9}{16}\)

Таким образом, искомая точка на параболе имеет координаты \(\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{16}\right)\).

Ответ: \(\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{16}\right)\)