Где находится вершина функции y=ln(x+9)^7-7x+6?

Chaynyy_Drakon

48

Чтобы найти вершину функции \(y = \ln(x+9)^7 - 7x + 6\), мы должны найти координаты \(x\) и \(y\) вершины. Для начала, нам потребуется знание некоторых основных свойств функции \(\ln(x)\).

Функция \(\ln(x)\) - это натуральный логарифм от \(x\), где \(x\) представляет собой положительное число. Она имеет следующие свойства:

1. График функции \(\ln(x)\) проходит через точку \((1, 0)\).
2. Функция \(\ln(x)\) является монотонно возрастающей, то есть с ростом \(x\), значение \(\ln(x)\) также увеличивается.
3. Функция \(\ln(x)\) не определена для отрицательных значений \(x\) или нуля.

Теперь перейдём к решению задачи. Если мы хотим найти вершину функции \(y = \ln(x+9)^7 - 7x + 6\), то нам нужно найти значение \(x\), при котором функция достигает своего максимального или минимального значения.

Для этого мы должны преобразовать наше уравнение в форму, удобную для определения вершины.

В нашем случае у нас есть функция, в которой основание натурального логарифма \(\ln\) возведено в степень.
Мы знаем, что если \(a\) - положительное число, а \(b\) - действительное число, то \(a^b\) примет своё максимальное или минимальное значение, когда \(b\) равно 0.


Поэтому мы можем представить нашу функцию следующим образом:

\[y = (\ln(x+9))^7 - 7x + 6\]

Поскольку \((\ln(x+9))^7\) представляет собой базу, возведённую в седьмую степень, мы можем заменить это выражение на новую переменную, например, \(u\):

\[u = \ln(x+9)\]

Теперь наша функция может быть записана следующим образом:

\[y = u^7 - 7x + 6\]

Мы можем использовать эту формулу для определения вершины функции и найти значение \(x\), при котором \(y\) достигает своего максимального или минимального значения.

Чтобы найти эту точку, мы должны найти производную функции \(y\) по \(x\) и приравнять её к нулю. Затем решим это уравнение относительно \(x\), чтобы найти значение \(x\), при котором функция достигает экстремума (максимума или минимума).

После того, как мы найдём значение \(x\), мы сможем найти значение \(u\) с помощью уравнения \(u = \ln(x+9)\), и затем подставить его обратно в исходное уравнение для определения значения \(y\).

Давайте рассчитаем все шаги и найдём вершину функции.