1. Пусть даны интегралы, которые нужно вычислить: интеграл от (4 - х - 3 - 3х - 2 + 1) dx, интеграл от х*(x - 1

Pushistik

13

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Для первого интеграла:

\[
\int (4 - x - 3 - 3x - 2 + 1) dx
\]

Сначала сгруппируем слагаемые:

\[
\int (-x - 2x - 4) dx
\]

Далее, приведем подобные слагаемые:

\[
\int (-3x - 4) dx
\]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_1
\]

\[
\int -4 dx = -4x + C_2
\]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные константы. Итоговый ответ:

\[
-\frac{3}{2}x^2 - 4x + C
\]

где \(C\) - произвольная константа.

2. Для второго интеграла:

\[
\int (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx
\]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\int 4x^3 \ dx = x^4 + C_1
\]

\[
\int -3x^2 \ dx = -\frac{3}{3}x^3 + C_2
\]

\[
\int 2x \ dx = x^2 + C_3
\]

\[
\int 1 \ dx = x + C_4
\]

Где \(C_1, C_2, C_3\) и \(C_4\) - произвольные константы. Итоговый ответ:

\[
x^4 - \frac{3}{3}x^3 + x^2 + x + C
\]

где \(C\) - произвольная константа.

3. Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 4\) и \(y = 0\), мы должны найти значения \(x\), при которых эти две функции пересекаются. Чтобы найти эти точки пересечения, приравняем \(x^2 - 4\) к нулю:

\[
x^2 - 4 = 0
\]

Факторизуем уравнение:

\[
(x - 2)(x + 2) = 0
\]

Отсюда получаем две точки пересечения: \(x = 2\) и \(x = -2\). Теперь мы можем найти площадь фигуры:

\[
\text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) \ dx
\]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\int x^2 \ dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1
\]

\[
\int -4 \ dx = -4x + C_2
\]

Подставляем пределы интегрирования:

\[
\text{Площадь} = \left[\frac{1}{3}x^3 - 4x\right]_{-2}^{2}
\]

Вычисляем значения:

\[
\text{Площадь} = \left(\frac{1}{3}(2)^3 - 4(2)\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3 - 4(-2)\right) = \frac{32}{3}
\]

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями \(y = x^2 - 4\) и \(y = 0\) равна \(\frac{32}{3}\).

4. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x - x^2\) и \(y = x^3 - 3x\), нам снова необходимо найти точки пересечения этих двух функций. Приравняем их друг к другу:

\[
x - x^2 = x^3 - 3x
\]

и перепишем уравнение в виде:

\[
x^3 - x^2 - 4x = 0
\]

Факторизуем уравнение:

\[
x(x - 2)(x + 2) = 0
\]

Таким образом, у нас есть три точки пересечения: \(x = 0\), \(x = -2\), \(x = 2\).

Теперь мы можем найти площадь фигуры:

\[
\text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (x - x^2 - (x^3 - 3x)) \ dx
\]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\int x \ dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1
\]

\[
\int x^2 \ dx = \frac{1}{3}x^3 + C_2
\]

\[
\int x^3 \ dx = \frac{1}{4}x^4 + C_3
\]

\[
\int -3x \ dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_4
\]

Подставляем пределы интегрирования:

\[
\text{Площадь} = \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2\right]_{-2}^{2}
\]

Вычисляем значения:

\[
\text{Площадь} = \left(\frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{4}(2)^4 + \frac{3}{2}(2)^2\right) - \left(\frac{1}{2}(-2)^2 - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{4}(-2)^4 + \frac{3}{2}(-2)^2\right) = \frac{48}{3}
\]

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями \(y = x - x^2\) и \(y = x^3 - 3x\) равна \(\frac{48}{3}\).