Где нужно провести касательную к графику функции y=1 x-1, чтобы она прошла через заданную точку с координатами?

Скорпион

7

К заданной функции \(y = \frac{1}{x} - 1\) и заданной точке с координатами \((a, b)\), где \(a\) и \(b\) - известные значения, мы можем найти уравнение касательной линии и точку касания на графике функции.

Чтобы найти уравнение касательной линии, мы должны найти производную функции \(y = \frac{1}{x} - 1\), обозначим эту производную как \(f"(x)\). Когда мы найдем \(f"(x)\), мы сможем использовать его, чтобы найти уравнение всех касательных линий к функции.

Для нахождения производной функции \(f(x) = \frac{1}{x} - 1\) используется правило дифференцирования сложных функций (правило дифференцирования обратной функции). Для функции вида \(f(x) = \frac{1}{x}\), где \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) с \(u(x) = 1\) и \(v(x) = \frac{1}{x}\), производная вычисляется по формуле \(f"(x) = u"(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v"(x)\). Таким образом, у нас есть:

\[u(x) = 1, u"(x) = 0\]
\[v(x) = \frac{1}{x}, v"(x) = -\frac{1}{x^2}\]

Подставив эти значения в формулу производной, получим:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 0 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2}\]

Теперь, когда у нас есть производная функции, мы можем использовать ее, чтобы найти уравнение касательной линии.

Уравнение касательной линии имеет вид \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - координаты точки касания, а \(m\) - значение производной функции в этой точке.

Используя заданную точку с координатами \((a, b)\) и значение производной функции \(-\frac{1}{x^2}\), мы можем записать уравнение касательной линии:

\[y - b = -\frac{1}{a^2}(x - a)\]

Таким образом, уравнение касательной будет представлять собой:

\[y = -\frac{1}{a^2}(x - a) + b\]

Это уравнение касательной линии, проходящей через заданную точку \((a, b)\).