Given an acute-angled triangle abc, the internal angle bisector at vertex b intersects the external angle bisector

Артемовна_7585

6

a) Доказательство:

Известно, что внутренний биссектриса угла является лучом, который делит этот угол пополам. Также внешний биссектриса угла делит его на два смежных угла, один из которых является дополнением этого угла.

Поэтому можем сказать, что угол ∠abc делится пополам на ∠abm и ∠cbl, где l - точка пересечения внешней биссектрисы. Аналогично, угол ∠acb делится пополам на ∠acn и ∠cbn, где n - точка пересечения внешней биссектрисы.

Так как bm - это внутренняя биссектриса угла abc, исходя из определения, она делит угол на две равные части. То есть ∠abm = ∠cbm. Аналогично, поскольку cn - внутренняя биссектриса угла acb, ∠acn = ∠bcn.

Теперь рассмотрим треугольникы ∆bmn и ∆acb. У них есть две пары равных углов: ∠abm = ∠cbm и ∠acn = ∠bcn. Мы также знаем, что ∠cab и ∠mab дополнительные углы.

Используя свойство углов при вершине и дополнительные углы, можно заметить, что ∠abc + ∠cab + ∠mab = 180 градусов.

Заметим, что ∠bmn = ∠cab + ∠mab, так как ∠bmn и ∠cab + ∠mab образуют пару вертикальных углов.

Теперь подставим значения ∠cab и ∠mab:

∠bmn = ∠cab + ∠mab = (∠abc + ∠mab) + ∠mab = ∠abc + 2∠mab

Но мы также знаем, что ∠abc = 2∠cbm (так как bm - это внутренняя биссектриса).

Таким образом, ∠bmn = 2∠cbm + 2∠mab = 2(∠cbm + ∠mab).

Поскольку ∠cbm + ∠mab = ∠acb (по определению вертикальных углов),

∠bmn = 2∠acb.

Но мы также знаем, что ∠bmn = 1/2 ∠acb (по построению треугольника).

Таким образом, ∠bmn = 1/2 ∠acb.

b) Для решения этой части задачи, нам нужно знать длину отрезка bm. Так как мы не знаем измерений величины bm, невозможно дать точный ответ на эту часть задачи. Если бы мы знали длину какого-либо отрезка или наличие дополнительной информации, мы могли бы вычислить длину bm.