Here are the rephrased questions: 1) Найдите длину катета острого угла прямоугольного треугольника, если гипотенуза

Совёнок

21

Так как вы просите максимально подробные ответы с пошаговыми решениями, давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1) Найдите длину катета острого угла прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 28 см, а угол равен 48°.

Чтобы найти длину катета, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Мы знаем, что гипотенуза равна 28 см, поэтому \(c = 28\).
Мы также знаем, что у нас есть острый угол, равный 48°. При этом мы ищем катет, а не гипотенузу, поэтому мы можем обозначить катеты как \(a\) и \(b\).

Теперь нам нужно применить формулу и решить ее относительно искомого катета:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[28^2 = a^2 + b^2\]
\[784 = a^2 + b^2\]

Теперь, чтобы найти длину катета, нам нужно знать значение либо \(a\) либо \(b\). У нас есть информация об угле, равном 48°, но нам нужно знать соответствующий катет. Для этого мы можем использовать тригонометрические соотношения.

В прямоугольном треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\), мы можем использовать соотношения:

\(\sin(\theta) = \frac{a}{c}\) и \(\cos(\theta) = \frac{b}{c}\)

Так как у нас есть угол 48° и гипотенуза, мы можем использовать \(\sin(\theta)\) для нахождения катета \(a\):

\(\sin(48°) = \frac{a}{28}\)

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(a\):

\(a = 28 \cdot \sin(48°)\)
\(a \approx 20.90\) см

Таким образом, длина катета острого угла равна примерно 20.90 см.

2) Определите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 56 см, а острый угол равен 74°.

Мы знаем, что один из катетов равен 56 см. Обозначим его как \(a\). Также у нас есть острый угол, равный 74°.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

Давайте обозначим гипотенузу как \(c\). Тогда мы можем записать уравнение:

\[a^2 + b^2 = c^2 \]

Заменив \(a\) на 56 см, мы получим:

\[56^2 + b^2 = c^2\]

Чтобы найти длину гипотенузы, нам необходимо найти значение \(c\). Для этого мы можем использовать угол 74° и \(\sin(\theta)\). Теперь мы можем записать уравнение:

\(\sin(74°) = \frac{a}{c}\)

Решим его относительно \(c\):

\(c = \frac{a}{\sin(74°)}\)
\(c = \frac{56}{\sin(74°)}\)

Вычисляем:

\(c \approx 58.68\) см

Таким образом, длина гипотенузы равна примерно 58.68 см.

3) Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 5 см, а другой катет меньше на 9 см.

Мы знаем, что один из катетов равен 5 см, обозначим его как \(a\). Также нам сказано, что другой катет меньше на 9 см, поэтому мы можем обозначить его как \(b = a - 9\).

Мы хотим найти длину гипотенузы, поэтому обозначим ее как \(c\).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы записать уравнение:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Заменяем \(b\) на \(a - 9\):

\[a^2 + (a - 9)^2 = c^2\]

Раскрываем скобки:

\[a^2 + a^2 - 18a + 81 = c^2\]

Упрощаем:

\[2a^2 - 18a + 81 = c^2\]

Теперь, чтобы найти длину гипотенузы, нам нужно знать значение \(c\). Мы не знаем углов, поэтому тригонометрические соотношения не помогут нам здесь. Оставим уравнение в виде \(c^2\) и решим его относительно \(c\):

\[c^2 = 2a^2 - 18a + 81\]

Вычисляем:

\[c^2 = 2(5)^2 - 18(5) + 81\]
\[c^2 = 50 - 90 + 81\]
\[c^2 = 41\]

Теперь найдем квадратный корень от обоих выражений:

\[c = \sqrt{41}\]
\[c \approx 6.4\] см

Таким образом, длина гипотенузы примерно равна 6.4 см.

4) Определите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если оба катета равны \(a\).

Мы знаем, что оба катета равны \(a\). Для нахождения длины гипотенузы, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[a^2 + a^2 = c^2\]
\[2a^2 = c^2\]

Теперь нам нужно найти значение \(c\). Мы не знаем углов, поэтому нам нужно оставить уравнение в квадратичной форме.

Решим его относительно \(c\):

\[c^2 = 2a^2\]

Вычисляем:

\[c = \sqrt{2a^2}\]
\[c = \sqrt{2}a\]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(\sqrt{2}\) умножить на длину катета \(a\).