Идеальный газ, состоящий из одного атома, претерпевает изменение с состояния 1 в состояние 2, как показано

Ивановна

27

Дано:

Состояние 1:
Давление: $P_1=2$ МПа
Объем: $V_1=8$ л

Состояние 2:
Давление: $P_2=0.75$ МПа
Объем: $V_2=24$ л

Для определения работы, выполненной газом в этом процессе, мы можем использовать формулу:

$$W=-{\int }_{V_1}^{V_2}P(V)dV$$

где $P(V)$ - давление газа в зависимости от объема.

Поскольку дан идеальный газ, то используем уравнение состояния идеального газа $PV=nRT$, где $n$ - количество вещества газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура в Кельвинах.

Для одноатомного идеального газа удельная теплоёмкость в постоянном объеме равна $C_v=\frac{f}{2}R$, где $f$ - количество степеней свободы молекулы (для атома $f=3$).

Теплоёмкость газа при постоянном давлении $C_p$ связана с $C_v$ соотношением $C_p=C_v+R$.

Плотность газа $\rho$ связана с молярной массой $M$ искомого газа и универсальной газовой постоянной $R$ следующим образом:

$$\rho =\frac{M}{VR}$$

Давайте начнем с вычисления плотности газа.

$$\rho =\frac{M}{VR}=\frac{M}{V\cdot \frac{R}{P}}=\frac{M\cdot P}{VR}$$

Мы можем использовать уравнение состояния, чтобы выразить молярную массу $M$:

$$PV=nRT\Rightarrow n=\frac{PV}{RT}$$

Подставляя это значение $n$ обратно в формулу для плотности, получим:

$$\rho =\frac{M\cdot P}{VR}=\frac{M\cdot P\cdot RT}{PVR}=\frac{MRT}{V}$$

Теперь мы можем вычислить плотность газа $\rho$:

$$\rho =\frac{MRT}{V}=\frac{(1\cdot 8.31\cdot 293)}{0.008}=30497.0625{\text{кг/м}}^3$$

Теперь, когда у нас есть значение плотности газа $\rho$, мы можем перейти к вычислению работы $W$ с использованием интеграла:

$$W=-{\int }_{V_1}^{V_2}P(V)dV$$

Значение $P(V)$ можно определить, используя уравнение состояния идеального газа $PV=nRT$:

$$P(V)=\frac{nRT}{V}$$

Подставляя значение $n$ и $R$, получим:

$$P(V)=\frac{(PV)(V)}{RT}$$

Теперь давайте вычислим работу $W$:

$$W=-{\int }_{V_1}^{V_2}\frac{(PV)(V)}{RT}dV$$

Выполняя интегрирование:

$$W=-\frac{P}{RT}{\int }_{V_1}^{V_2}(V^2)dV$$

$$W=-\frac{P}{RT}{\left[\frac{V^3}{3}\right]}_{V_1}^{V_2}$$

Подставив значения состояний 1 и 2, вычисляем работу $W$:

$$W=-\frac{P}{RT}\left(\frac{V_2^3-V_1^3}{3}\right)$$

$$W=-\frac{0.75\times {10}^6}{8.31\times 293}\left(\frac{(24\times {10}^{-3}{)}^3-(8\times {10}^{-3}{)}^3}{3}\right)$$

$$W\approx -107.999\text{дж}$$

Ответ: Численное значение работы, выполненной газом в этом процессе, с учетом знака, составляет -108 джоулей. Плотность газа составляет примерно 30497 килограммов на кубический метр.