Идеальный газ, состоящий из одного атома, претерпевает изменение с состояния 1 в состояние 2, как показано
Идеальный газ, состоящий из одного атома, претерпевает изменение с состояния 1 в состояние 2, как показано на изображении. Каково численное значение работы, с учетом знака, выполненной газом в этом процессе в джоулях? Также, пожалуйста, укажите плотность газа, обозначенную как р, в кг/м^3.
Ивановна 27
Дано:Состояние 1:
Давление: \(P_1 = 2\) МПа
Объем: \(V_1 = 8\) л
Состояние 2:
Давление: \(P_2 = 0.75\) МПа
Объем: \(V_2 = 24\) л
Для определения работы, выполненной газом в этом процессе, мы можем использовать формулу:
\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} P(V) dV \]
где \( P(V) \) - давление газа в зависимости от объема.
Поскольку дан идеальный газ, то используем уравнение состояния идеального газа \( PV = nRT \), где \( n \) - количество вещества газа, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура в Кельвинах.
Для одноатомного идеального газа удельная теплоёмкость в постоянном объеме равна \( C_v = \frac{f}{2} R \), где \( f \) - количество степеней свободы молекулы (для атома \( f = 3 \)).
Теплоёмкость газа при постоянном давлении \( C_p \) связана с \( C_v \) соотношением \( C_p = C_v + R \).
Плотность газа \( \rho \) связана с молярной массой \( M \) искомого газа и универсальной газовой постоянной \( R \) следующим образом:
\[ \rho = \frac{M}{VR} \]
Давайте начнем с вычисления плотности газа.
\[ \rho = \frac{M}{VR} = \frac{M}{V \cdot \frac{R}{P}} = \frac{M \cdot P}{VR} \]
Мы можем использовать уравнение состояния, чтобы выразить молярную массу \( M \):
\[ PV = nRT \Rightarrow n = \frac{PV}{RT} \]
Подставляя это значение \( n \) обратно в формулу для плотности, получим:
\[ \rho = \frac{M \cdot P}{VR} = \frac{M \cdot P \cdot RT}{PVR} = \frac{MRT}{V} \]
Теперь мы можем вычислить плотность газа \( \rho \):
\[ \rho = \frac{MRT}{V} = \frac{(1 \cdot 8.31 \cdot 293)}{0.008} = 30497.0625 \, \text{кг/м}^3 \]
Теперь, когда у нас есть значение плотности газа \( \rho \), мы можем перейти к вычислению работы \( W \) с использованием интеграла:
\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} P(V) dV \]
Значение \( P(V) \) можно определить, используя уравнение состояния идеального газа \( PV = nRT \):
\[ P(V) = \frac{nRT}{V} \]
Подставляя значение \( n \) и \( R \), получим:
\[ P(V) = \frac{(PV)(V)}{RT} \]
Теперь давайте вычислим работу \( W \):
\[ W = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{(PV)(V)}{RT} dV \]
Выполняя интегрирование:
\[ W = -\frac{P}{RT} \int_{V_1}^{V_2} (V^2) dV \]
\[ W = -\frac{P}{RT} \left[\frac{V^3}{3}\right]_{V_1}^{V_2} \]
Подставив значения состояний 1 и 2, вычисляем работу \( W \):
\[ W = -\frac{P}{RT} \left(\frac{V_2^3 - V_1^3}{3}\right) \]
\[ W = -\frac{0.75 \times 10^6}{8.31 \times 293} \left(\frac{(24 \times 10^{-3})^3 - (8 \times 10^{-3})^3}{3}\right) \]
\[ W \approx -107.999 \, \text{дж} \]
Ответ: Численное значение работы, выполненной газом в этом процессе, с учетом знака, составляет -108 джоулей. Плотность газа составляет примерно 30497 килограммов на кубический метр.