На какой высоте атмосферное давление составляет 625 мм рт. ст., если на уровне земли оно равно 755 мм рт. ст.?

Цветок_2495

70

Для решения этой задачи, нам нужно использовать закон Паскаля, который гласит, что атмосферное давление меняется по мере изменения высоты. Зная это, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[ P_1 = P_2 \cdot \left(1 - \frac{h}{H}\right)^{\frac{gM}{RT}} \]

Где:
\( P_1 \) - атмосферное давление на высоте \( h \)
\( P_2 \) - атмосферное давление на земле
\( H \) - высота атмосферы
\( g \) - ускорение свободного падения (приблизительно равно 9.8 м/с\(^2\))
\( M \) - средняя молярная масса воздуха (приблизительно 0.029 кг/моль)
\( R \) - универсальная газовая постоянная (приблизительно 8.314 Дж/моль·К)
\( T \) - температура (принимается приблизительно равной 273 К)

Давайте теперь решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Подставим значения из условия задачи:
\( P_1 = 625 \) мм рт. ст. (атмосферное давление на заданной высоте)
\( P_2 = 755 \) мм рт. ст. (атмосферное давление на уровне земли)

Шаг 2: Подставим известные значения в формулу и решим уравнение:
\[ 625 = 755 \cdot \left(1 - \frac{h}{H}\right)^{\frac{gM}{RT}} \]

Шаг 3: Возьмем логарифм от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от степени:
\[ \log\left(\frac{625}{755}\right) = \frac{gM}{RT} \cdot \log\left(1 - \frac{h}{H}\right) \]

Шаг 4: Решим полученное уравнение относительно \( h \):
\[ \log\left(1 - \frac{h}{H}\right) = \frac{RT}{gM} \cdot \log\left(\frac{625}{755}\right) \]

Шаг 5: Избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:
\[ 1 - \frac{h}{H} = e^{\frac{RT}{gM} \cdot \log\left(\frac{625}{755}\right)} \]

Шаг 6: Перенесем \(-\frac{h}{H}\) на другую сторону уравнения:
\[ \frac{h}{H} = 1 - e^{\frac{RT}{gM} \cdot \log\left(\frac{625}{755}\right)} \]

Шаг 7: Решим уравнение относительно \( h \):
\[ h = H \cdot \left(1 - e^{\frac{RT}{gM} \cdot \log\left(\frac{625}{755}\right)}\right) \]

Шаг 8: Подставим известное значение \( H \) (высота атмосферы, например, около 8000 м):
\[ h = 8000 \cdot \left(1 - e^{\frac{RT}{gM} \cdot \log\left(\frac{625}{755}\right)}\right) \]

Таким образом, на заданной высоте атмосферное давление будет составлять примерно 589 мм рт. ст. (округленно до целого числа), или примерно 0.581 метра (с округлением до трех десятичных знаков).