Иллюстрируйте график функции У = f(x), имея в виду следующее: а) область определения функции - интервал [- 5

Антоновна_149

66

Для начала построим график функции \(У = f(x)\) с учетом предоставленной информации.

а) Область определения функции \(f(x)\) - интервал \([-5;2]\). Это значит, что график функции будет располагаться между значениями \(x = -5\) и \(x = 2\).

б) Значения функции находятся в интервале \([-2;5]\). Это означает, что все точки графика функции будут располагаться между значениями \(y = -2\) и \(y = 5\).

в) По условию, \(f(x) < 0\) для всех \(x\) из интервала \((-3;-1)\), \(f(x) > 0\) для всех \(x\) из интервалов \((-5;-3)\) и \((-1;2)\), и \(f(x) = 0\) при \(x = -3\).

г) Нули функции: \(x = -4\) и \(x = -1\). Нули функции соответствуют точкам, где график функции пересекает ось \(x\).

С учетом всех этих данных, мы можем построить график функции. Начнем с области определения и значениями функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & ? \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & ? \\
\hline
-2 & ? \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & ? \\
\hline
1 & ? \\
\hline
2 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

Поскольку у нас уже есть информация о том, что \(f(x) = 0\) при \(x = -3\), \(x = -4\) и \(x = -1\), мы можем отметить эти точки на нашем графике:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & ? \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & 0 \\
\hline
-2 & ? \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & ? \\
\hline
1 & ? \\
\hline
2 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, с учетом информации о знаках функции в различных интервалах, мы можем предположить форму графика. В интервале \((-5;-3)\), функция положительна, поэтому график будет располагаться выше оси \(x\). Наоборот, в интервале \((-3;-1)\), функция отрицательна, поэтому график будет располагаться ниже оси \(x\). Затем, в интервале \((-1;2)\), функция снова положительна, и график будет находиться выше оси \(x\).

Используя эту информацию, мы можем продолжить заполнять таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & ? \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & 0 \\
\hline
-2 & ? \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & ? \\
\hline
1 & ? \\
\hline
2 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте рассмотрим значения функции более подробно.

В интервале \((-5;-3)\), функция положительна, и по условию значения функции находятся в интервале \([-2; 5]\). Мы можем выбрать произвольное значение в этом интервале, например, \(y = 3\). Это означает, что для всех \(x\) из интервала \((-5;-3)\), \(f(x) = 3\). Заполняем таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & 3 \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & 0 \\
\hline
-2 & ? \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & ? \\
\hline
1 & ? \\
\hline
2 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

В интервале \((-3;-1)\), функция отрицательна, и нужно выбрать произвольное отрицательное значение, например, \(y = -1\). То есть, для всех \(x\) из интервала \((-3;-1)\), \(f(x) = -1\). Заполняем таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & 3 \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & -1 \\
\hline
-2 & ? \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & ? \\
\hline
1 & ? \\
\hline
2 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

В интервале \((-1;2)\), функция положительна, и нужно выбрать произвольное положительное значение, например, \(y = 2\). То есть, для всех \(x\) из интервала \((-1;2)\), \(f(x) = 2\). Заполняем таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & 3 \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & -1 \\
\hline
-2 & 2 \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & ? \\
\hline
1 & ? \\
\hline
2 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

В нашей таблице остались значения для интервала \([-2; 0]\) и интервала \([0; 1]\). В этих интервалах функция может принимать любые значения, находящиеся в интервале \([-2; 5]\). Мы можем выбрать произвольные значения для иллюстрации:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & 3 \\
\hline
-4 & 0 \\
\hline
-3 & -1 \\
\hline
-2 & 2 \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & 4 \\
\hline
1 & -2 \\
\hline
2 & 5 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график функции с использованием этих значений:

\[ график \]

На графике видно, что функция \(f(x)\) начинается в точке \((-5,3)\), выходит на ось \(x\) в точке \((-4,0)\), проходит через точку пересечения \((-3,0)\), движется вверх до точки пересечения \((-2,2)\), проходит через точку пересечения \((-1,0)\), проходит через точку \((0,4)\), итд.

Надеюсь, это иллюстрация графика функции \(У = f(x)\) ясна и понятна. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!