Имеются два независимых распределения случайных величин: x1 = 2; 4; 6; 8 с вероятностями p = 0,4; 0,2; 0,1; 0,3 и

Кира

67

Для начала, давайте представим закон распределения разности двух случайных величин \(x_1\) и \(x_2\). Чтобы найти закон распределения разности, мы должны рассмотреть все возможные комбинации значений \(x_1\) и \(x_2\), а затем рассчитать их вероятности.

Поскольку \(x_1\) имеет значения 2, 4, 6, и 8 с вероятностями 0,4, 0,2, 0,1, и 0,3 соответственно, а \(x_2\) имеет значения 0, 1, и 2 с вероятностями 0,5, 0,25, и 0,25 соответственно, мы можем составить таблицу с возможными значениями разности \(x_1 - x_2\) и их вероятностями:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_1 - x_2 & \text{Вероятность} \\
\hline
2 - 0 & 0,4 \times 0,5 = 0,2 \\
2 - 1 & 0,4 \times 0,25 = 0,1 \\
2 - 2 & 0,4 \times 0,25 = 0,1 \\
4 - 0 & 0,2 \times 0,5 = 0,1 \\
4 - 1 & 0,2 \times 0,25 = 0,05 \\
4 - 2 & 0,2 \times 0,25 = 0,05 \\
6 - 0 & 0,1 \times 0,5 = 0,05 \\
6 - 1 & 0,1 \times 0,25 = 0,025 \\
6 - 2 & 0,1 \times 0,25 = 0,025 \\
8 - 0 & 0,3 \times 0,5 = 0,15 \\
8 - 1 & 0,3 \times 0,25 = 0,075 \\
8 - 2 & 0,3 \times 0,25 = 0,075 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте проверим соответствие формуле \(m(x_1 - x_2) = m(x_1) - m(x_2)\), где \(m\) обозначает математическое ожидание (среднее значение) случайной величины, и формуле \(d(x_1 - x_2) = d(x_1) + d(x_2)\), где \(d\) обозначает дисперсию случайной величины.

Для нахождения математического ожидания \(m(x_1 - x_2)\) мы умножим каждое значение разности на его вероятность и найдем их сумму:

\[
m(x_1 - x_2) = (2-0) \times 0,2 + (2-1) \times 0,1 + (2-2) \times 0,1 + (4-0) \times 0,1 + (4-1) \times 0,05 + (4-2) \times 0,05 + (6-0) \times 0,05 + (6-1) \times 0,025 + (6-2) \times 0,025 + (8-0) \times 0,15 + (8-1) \times 0,075 + (8-2) \times 0,075
\]

\[
m(x_1 - x_2) = 1,2
\]

Для нахождения дисперсии \(d(x_1 - x_2)\), мы вычислим сумму произведений квадрата разности каждого значения на его вероятность и вычтем квадрат математического ожидания \(m(x_1 - x_2)\):

\[
d(x_1 - x_2) = (2-0)^2 \times 0,2 + (2-1)^2 \times 0,1 + (2-2)^2 \times 0,1 + (4-0)^2 \times 0,1 + (4-1)^2 \times 0,05 + (4-2)^2 \times 0,05 + (6-0)^2 \times 0,05 + (6-1)^2 \times 0,025 + (6-2)^2 \times 0,025 + (8-0)^2 \times 0,15 + (8-1)^2 \times 0,075 + (8-2)^2 \times 0,075 - (1,2)^2
\]

\[
d(x_1 - x_2) = 4,08
\]

Итак, по формуле \(m(x_1 - x_2) = m(x_1) - m(x_2)\), получаем:

\[
1,2 = (m(x_1) = (2 \times 0,4) + (4 \times 0,2) + (6 \times 0,1) + (8 \times 0,3)) - (m(x_2) = (0 \times 0,5) + (1 \times 0,25) + (2 \times 0,25))
\]

\[
1,2 = (2,8) - (0,75)
\]

\[
1,2 = 2,05
\]

Формула \(m(x_1 - x_2) = m(x_1) - m(x_2)\) не выполняется.

Теперь проверим формулу \(d(x_1 - x_2) = d(x_1) + d(x_2)\):

\[
4,08 = (d(x_1) = (2^2 \times 0,4) + (4^2 \times 0,2) + (6^2 \times 0,1) + (8^2 \times 0,3)) + (d(x_2) = (0^2 \times 0,5) + (1^2 \times 0,25) + (2^2 \times 0,25))
\]

\[
4,08 = (10,4) + (0,75)
\]

\[
4,08 = 11,15
\]

Формула \(d(x_1 - x_2) = d(x_1) + d(x_2)\) также не выполняется.

Таким образом, закон распределения разности двух случайных величин \(x_1\) и \(x_2\) был найден, а проверка формул \(m(x_1 - x_2) = m(x_1) - m(x_2)\) и \(d(x_1 - x_2) = d(x_1) + d(x_2)\) показала, что они не выполняются в данном случае.