Is it true that the logarithm base 7 of 245 minus 49 times x is greater than the logarithm base 7 of x squared minus

Solnechnyy_Feniks_578

15

Данная задача требует решения неравенства, в котором присутствуют логарифмы с основанием 7. Последовательно выпишем все данные и действия для того, чтобы найти значения x, удовлетворяющие неравенству.

Задача: Верно ли, что логарифм с основанием 7 от 245 минус 49 умножить на x больше, чем логарифм с основанием 7 от x в квадрате минус 15 умножить на x плюс 50, складываемый с логарифмом с основанием 7 от x плюс...

Неравенство: \(\log_7(245 - 49x) > \log_7(x^2 - 15x + 50) + \log_7(x + ....\)

Для начала, преобразуем сумму логарифмов слева в произведение:

\(\log_7(245 - 49x) > \log_7[(x^2 - 15x + 50)(x + ......]\)

Теперь применим свойство логарифмов, согласно которому \(\log_ab > \log_ac\) тогда и только тогда, когда \(b > c\). Имеем:

\((245 - 49x) > (x^2 - 15x + 50)(x + ....\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые вправо для получения квадратного уравнения:

\(245 - 49x > (x^3 + ......\)

\(0 > x^3 + .......\)

Теперь мы получили простое кубическое неравенство, в котором нужно найти значения x, удовлетворяющие неравенству \(0 > x^3 + ......\)

Прежде чем найти решение неравенства, отметим, что значение подлогарифмического выражения должно быть положительным. Это означает, что логарифмы должны быть определены, поэтому у нас есть два условия:

1. \(245 - 49x > 0\) (логарифм с основанием 7 должен быть определен)
2. \(x^2 - 15x + 50 > 0\) (логарифм с основанием 7 должен быть определен)

Теперь рассмотрим каждое условие по отдельности:

1. \(245 - 49x > 0\)
Найдем значение x, при котором это неравенство истинно:
\(49x < 245\)
\(x < \frac{245}{49}\)
\(x < 5\)

Таким образом, первое условие выполняется, когда \(x < 5\).

2. \(x^2 - 15x + 50 > 0\)
Чтобы найти значения x, при которых это неравенство выполняется, можно использовать график квадратного трехчлена или метод интервалов. Решив это квадратное уравнение или проанализировав его график, мы получим:
\(x < 5\) или \(x > 10\)

Теперь объединим оба условия:

\(x < 5\) и \(x < 5\) \(\Rightarrow x < 5\)
\(x > 10\) и \(x < 5\) \(\Rightarrow\) нет общих решений

Таким образом, неравенство в исходной задаче не имеет решений, которые одновременно удовлетворяют всем условиям.