16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело, имеющее начальную температуру 100°, охлаждается
16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело, имеющее начальную температуру 100°, охлаждается до 60°. Если скорость охлаждения тела пропорциональна разности температуры тела и окружающего воздуха, необходимо определить, в течение какого времени температура тела достигнет 30°. Подсказка: обозначим температуру тела в момент времени t как Т, тогда закон охлаждения тела может быть выражен уравнением dT/dt = k (T — 20), где k - коэффициент пропорциональности.
Solnechnyy_Kalligraf 43
Хорошо, давайте решим данную задачу о законе охлаждения тела. У нас есть следующая информация: начальная температура тела \(T_0 = 100°\), температура окружающего воздуха \(T_a = 20°\), конечная температура тела \(T = 60°\) и мы хотим найти время, через которое температура тела достигнет 30°.Мы знаем, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температуры тела и окружающего воздуха. Обозначим коэффициент пропорциональности как \(k\). Уравнение, описывающее закон охлаждения тела, будет иметь вид \(\frac{{dT}}{{dt}} = k(T - T_a)\).
Теперь мы можем перейти к решению этого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением первого порядка, и его можно решить методом разделения переменных. Для этого давайте разделим переменные и проинтегрируем обе стороны уравнения:
\[\frac{{dT}}{{T - T_a}} = k\,dt.\]
Интегрируя обе части, получим:
\[\ln|T - T_a| = kt + C,\]
где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. Продолжим решение, избавившись от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам:
\[|T - T_a| = e^{kt + C}.\]
Заметим, что модуль можно убрать, так как \(T - T_a\) всегда положительно. Постоянную \(C\) можно объединить с константой интегрирования \(C\) в одну новую постоянную \(C_1\) и переписать уравнение как:
\[T - T_a = Ce^{kt}.\]
Теперь найдем значение постоянной \(C\) с использованием начального условия \(T = T_0\) при \(t = 0\):
\[T_0 - T_a = Ce^{k \cdot 0}.\]
Применяя, что \(e^0 = 1\), получаем:
\[T_0 - T_a = C.\]
Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения в следующем виде:
\[T - T_a = (T_0 - T_a)e^{kt}.\]
У нас осталось найти время \(t\), при котором температура \(T\) достигнет 30°. Подставим известные значения в уравнение:
\[30 - 20 = (100 - 20)e^{k \cdot t}.\]
Упростив это выражение, получим:
\[10 = 80e^{kt}.\]
Разделим обе стороны на 80:
\[\frac{{1}}{{8}} = e^{kt}.\]
Применим логарифм к обоим сторонам:
\[\ln\left(\frac{{1}}{{8}}\right) = kt.\]
Теперь найдем значение \(t\):
\[t = \frac{{\ln\left(\frac{{1}}{{8}}\right)}}{{k}}.\]
Вот значение времени, через которое температура тела достигнет 30°. Не забудьте подставить значение коэффициента пропорциональности \(k\), которое может быть указано в условии задачи.
Надеюсь, это решение было понятным и полезным!