16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело, имеющее начальную температуру 100°, охлаждается
16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело, имеющее начальную температуру 100°, охлаждается до 60°. Если скорость охлаждения тела пропорциональна разности температуры тела и окружающего воздуха, необходимо определить, в течение какого времени температура тела достигнет 30°. Подсказка: обозначим температуру тела в момент времени t как Т, тогда закон охлаждения тела может быть выражен уравнением dT/dt = k (T — 20), где k - коэффициент пропорциональности.
Solnechnyy_Kalligraf 43
Хорошо, давайте решим данную задачу о законе охлаждения тела. У нас есть следующая информация: начальная температура телаМы знаем, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температуры тела и окружающего воздуха. Обозначим коэффициент пропорциональности как
Теперь мы можем перейти к решению этого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением первого порядка, и его можно решить методом разделения переменных. Для этого давайте разделим переменные и проинтегрируем обе стороны уравнения:
Интегрируя обе части, получим:
где
Заметим, что модуль можно убрать, так как
Теперь найдем значение постоянной
Применяя, что
Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения в следующем виде:
У нас осталось найти время
Упростив это выражение, получим:
Разделим обе стороны на 80:
Применим логарифм к обоим сторонам:
Теперь найдем значение
Вот значение времени, через которое температура тела достигнет 30°. Не забудьте подставить значение коэффициента пропорциональности
Надеюсь, это решение было понятным и полезным!