16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело, имеющее начальную температуру 100°, охлаждается

  • 69
16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело, имеющее начальную температуру 100°, охлаждается до 60°. Если скорость охлаждения тела пропорциональна разности температуры тела и окружающего воздуха, необходимо определить, в течение какого времени температура тела достигнет 30°. Подсказка: обозначим температуру тела в момент времени t как Т, тогда закон охлаждения тела может быть выражен уравнением dT/dt = k (T — 20), где k - коэффициент пропорциональности.
Solnechnyy_Kalligraf
43
Хорошо, давайте решим данную задачу о законе охлаждения тела. У нас есть следующая информация: начальная температура тела T0=100°, температура окружающего воздуха Ta=20°, конечная температура тела T=60° и мы хотим найти время, через которое температура тела достигнет 30°.

Мы знаем, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температуры тела и окружающего воздуха. Обозначим коэффициент пропорциональности как k. Уравнение, описывающее закон охлаждения тела, будет иметь вид dTdt=k(TTa).

Теперь мы можем перейти к решению этого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением первого порядка, и его можно решить методом разделения переменных. Для этого давайте разделим переменные и проинтегрируем обе стороны уравнения:

dTTTa=kdt.

Интегрируя обе части, получим:

ln|TTa|=kt+C,

где C - произвольная постоянная интегрирования. Продолжим решение, избавившись от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам:

|TTa|=ekt+C.

Заметим, что модуль можно убрать, так как TTa всегда положительно. Постоянную C можно объединить с константой интегрирования C в одну новую постоянную C1 и переписать уравнение как:

TTa=Cekt.

Теперь найдем значение постоянной C с использованием начального условия T=T0 при t=0:

T0Ta=Cek0.

Применяя, что e0=1, получаем:

T0Ta=C.

Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения в следующем виде:

TTa=(T0Ta)ekt.

У нас осталось найти время t, при котором температура T достигнет 30°. Подставим известные значения в уравнение:

3020=(10020)ekt.

Упростив это выражение, получим:

10=80ekt.

Разделим обе стороны на 80:

18=ekt.

Применим логарифм к обоим сторонам:

ln(18)=kt.

Теперь найдем значение t:

t=ln(18)k.

Вот значение времени, через которое температура тела достигнет 30°. Не забудьте подставить значение коэффициента пропорциональности k, которое может быть указано в условии задачи.

Надеюсь, это решение было понятным и полезным!