Какие координаты третьей вершины треугольника с площадью S =3, если две его вершины имеют координаты A(3;1) и B

Солнечный_Каллиграф

40

Для решения данной задачи, нам понадобятся следующие шаги:

1. Найдите координаты центра тяжести треугольника.
2. Используйте найденные координаты центра тяжести и известные координаты других двух вершин треугольника, чтобы найти координаты третьей вершины.

Шаг 1: Находим координаты центра тяжести треугольника:
Центр тяжести треугольника можно найти по следующей формуле:

\[Тх = \frac{1}{3} (Ах + Вх + Сх)\]
\[Ту = \frac{1}{3} (Ау + Ву + Су)\]

Где (Тх, Ту) - координаты центра тяжести, (Ах, Ау) и (Вх, Ву) - координаты вершин треугольника.

Используя данную формулу и данные из условия задачи, находим координаты центра тяжести:
\[Тх = \frac{1}{3} (3 + 1 + Сх) = \frac{1}{3} (4 + Сх)\]
\[Ту = \frac{1}{3} (1 + (-3) + Су) = \frac{1}{3} (-1 + Су)\]

Шаг 2: Находим координаты третьей вершины треугольника:
Известно, что площадь треугольника можно найти по следующей формуле:

\[S = \frac{1}{2} |Ах(Ву - Су) + Вх(Су - Ау) + Сх(Ау - Ву)|\]

где (Ах, Ау), (Вх, Ву) и (Сх, Су) - координаты вершин треугольника.

Подставляем известные координаты и значение площади в данную формулу:
\[3 = \frac{1}{2} |3(Ву - Су) + 1(Су - 1) + Сх(1 - Ву)|\]
\[6 = 3|Ву - Су| + |Су - 1| + 3|1 - Ву|\]
\[2 = |Ву - Су| + \frac{1}{3}|Су - 1| + |1 - Ву|\]

Так как площадь треугольника положительная, модули в данном уравнении можно опустить. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[2 = Ву - Су + \frac{1}{3}(Су - 1) + 1 - Ву\]
\[2 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} Су\]
\[Су = 6\]

Теперь, когда мы знаем значение Су, мы можем использовать найденные координаты центра тяжести и одну из вершин треугольника (например, А(3;1)) для нахождения Сх:

\[\frac{1}{3} (4 + Сх) = 3\]
\[4 + Сх = 9\]
\[Сх = 5\]

Таким образом, третья вершина треугольника имеет координаты C(5; 6).

Таким образом, третья вершина треугольника имеет координаты C(5; 6).