Исходя из равнобедренного треугольника ABC, точка D была отмечена так, что CD:DB=5:2. Прямая AD пересекает окружность

Сверкающий_Джентльмен

37

Дано: Равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), точка D такая, что \( CD:DB = 5:2 \). Прямая AD пересекает окружность, описанную около треугольника \( \triangle ABC \), в точке K.
Задача: Найти длины отрезков CK и BK.

1. Начнём с построения:

Пусть точка O - центр окружности, описанной около треугольника \( \triangle ABC \). Точка K’ - проекция точки K на сторону BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана AD также является биссектрисой угла BAC. Тогда \(\angle AKB = 90^{\circ}\), а VKBK" - диаметр окружности, поэтому \(\angle AK"K = 90^{\circ}\).

2. Докажем, что \(CK = \frac{BC}{3}\) и \(BK = \frac{2BC}{3}\):

Пусть \(CD = 5x\) и \(DB = 2x\), тогда \(BC = CD + DB = 7x\). Так как \(\triangle ABC -\) равнобедренный, то \(AC = BC\), следовательно, \(AB = 2x\).

Воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике BCK:

\[BK^2 + BC^2 = 4x^2 + 49x^2 = 53x^2\]

Так как \(\triangle BCK -\) прямоугольный, то \(CK = \sqrt{CK^2} = \sqrt{53x^2} = \sqrt{53}x\)

Таким образом, \(CK = \frac{\sqrt{53}}{7} \cdot BC\) и \(BK = \frac{2\sqrt{53}}{7} \cdot BC\).

Следовательно, \(CK = \frac{\sqrt{53}}{7} \cdot BC\) и \(BK = \frac{2\sqrt{53}}{7} \cdot BC\), а сумма длин отрезков CK и BK равна \(CK + BK = \left( \frac{\sqrt{53}}{7} + \frac{2\sqrt{53}}{7} \right) \cdot BC = \frac{3\sqrt{53}}{7} \cdot BC\).