Решите. 10 класс. 1. Каковы длины боковых ребер треугольной пирамиды, которые взаимно перпендикулярны и имеют значения

Пугающий_Пират

38

Решение:

1. Для решения задачи о длинах боковых ребер треугольной пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. По условию, боковые ребра взаимно перпендикулярны и имеют значения 5 см, 6 см, 7 см.

Пусть а, b, и c - длины боковых ребер треугольной пирамиды. По теореме Пифагора мы знаем, что \(a^2 = b^2 + c^2\), где a - длина гипотенузы, b и c - длины катетов.

Исходя из условия, у нас есть три треугольника, где значения катетов равны 5 см, 6 см и 7 см. То есть, у нас имеется три уравнения:

\(a^2 = 5^2 + 6^2\)
\(b^2 = 5^2 + 7^2\)
\(c^2 = 6^2 + 7^2\)

Вычислим значения квадратов длин боковых ребер:

\(a^2 = 25 + 36 = 61\)
\(b^2 = 25 + 49 = 74\)
\(c^2 = 36 + 49 = 85\)

Теперь найдем длины боковых ребер пирамиды:

\(a = \sqrt{61} \approx 7.81 \, см\)
\(b = \sqrt{74} \approx 8.60 \, см\)
\(c = \sqrt{85} \approx 9.22 \, см\)

Таким образом, длины боковых ребер треугольной пирамиды составляют примерно 7.81 см, 8.60 см и 9.22 см.

2. Для вычисления длины стороны основания правильной треугольной пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. По условию, боковое ребро равно 17 см, а высота равна 15 см.

Пусть a - сторона основания пирамиды, b - половина стороны основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Исходя из условия, у нас есть прямоугольный треугольник, где один катет равен 15 см (высота пирамиды), а гипотенуза равна 17 см (боковое ребро).

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить длину стороны основания пирамиды:

\(a^2 = 2b^2 = 17^2 - 15^2\)

Вычисляем:

\(a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\)

Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна 8 см.

3. а) Для вычисления угла наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды, мы можем использовать тригонометрические отношения. По условию, боковое ребро равно 8 см, а высота треугольной пирамиды составляет 4 см.

Пусть h - высота пирамиды, a - боковое ребро.

Исходя из условия, у нас есть прямоугольный треугольник, где один катет равен 4 см (высота пирамиды), а гипотенуза равна 8 см (боковое ребро).

Используя тригонометрическую функцию тангенса:

\(\tan(\theta) = \frac{h}{a}\)

Подставляем известные значения:

\(\tan(\theta) = \frac{4}{8}\)

Вычисляем:

\(\theta = \arctan\left(\frac{4}{8}\right) \approx 26.57^\circ\)

Таким образом, угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды примерно равен \(26.57^\circ\).

б) Для вычисления длины радиуса окружности, описанной около основания пирамиды, мы можем использовать формулу для радиуса окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника.

Пусть R - радиус окружности, a - сторона основания пирамиды.

Используя формулу для радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника:

\(R = \frac{a}{2\sin(\theta)}\)

Подставляем известные значения:

\(R = \frac{8}{2\sin(60^\circ)}\)

Вычисляем:

\(R = \frac{8}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62\)

Таким образом, длина радиуса окружности, описанной около основания пирамиды, примерно равна 4.62 см.