Используя замену t=3x+2, перепишите интеграл dx/√3x+2

Raduzhnyy_List

19

Хорошо, давайте решим эту задачу в несколько шагов для лучшего понимания.

1. Начнем с замены переменной. Пусть \(t = 3x + 2\). Чтобы заменить переменную, нам нужно выразить \(dx\) через \(dt\).

Для этого возьмем производную от \(t\) по \(x\):
\[\frac{dt}{dx} = 3.\]
Теперь мы можем выразить \(dx\) через \(dt\):
\[dx = \frac{dt}{3}.\]

2. Подставим новые значения в исходный интеграл:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{3x + 2}}.\]
Заменим \(dx\) на \(\frac{dt}{3}\):
\[\int \frac{1}{3\sqrt{3x + 2}} dt.\]

3. Мы успешно заменили переменную и получили новый интеграл. Теперь упростим его.
Раскроем константу \(\frac{1}{3}\):
\[\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{3x + 2}} dt.\]
Используя правило замены переменной, давайте заменим \(\sqrt{3x + 2}\) на \(t\):
\[\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} dt.\]

4. Вычислим этот интеграл:
\[\frac{1}{3} \ln|t| + C.\]
Здесь \(C\) - произвольная постоянная.

5. Подставим обратную замену переменной \(t = 3x + 2\):
\[\frac{1}{3} \ln|3x + 2| + C.\]

Вот и всё! Мы успешно переписали исходный интеграл с помощью замены переменной \(t = 3x + 2\) и получили окончательный ответ: \(\frac{1}{3} \ln|3x + 2| + C\). Я надеюсь, это решение было понятно и подробно для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.