Из доступных 30 книг на книжной полке можно переставить 15 томов

Zolotoy_Ray

59

Данная задача можно решить с помощью комбинаторики и принципа умножения. Для начала, давайте разберемся в основных понятиях задачи.

Нам дана книжная полка, на которой находится 30 книг. Нам нужно узнать, сколькими способами можно переставить 15 книг из данных 30.

Для решения задачи мы можем использовать перестановки сочетаний. Перестановка - это упорядоченная выборка объектов из данного множества, а сочетание - это неупорядоченная выборка объектов. В данном случае нам нужно рассмотреть сочетания.

Для нахождения числа сочетаний можно воспользоваться формулой сочетаний:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где \(n\) - общее количество объектов (в данном случае 30 книг), \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем (в данном случае 15 книг), а \(!\) обозначает факториал числа.

Теперь давайте решим задачу подробнее.

\[C_{30}^{15} = \frac{30!}{15!(30-15)!}\]

Можем сократить факториалы в числителе и знаменателе:

\[C_{30}^{15} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Нам повезло, потому что много факториалов сокращается, и остается достаточно простое выражение:

\[C_{30}^{15} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Теперь можно рассчитать это числовое выражение:

\[C_{30}^{15} = 155117520\]

Значит, существует 155117520 способов переставить 15 книг из доступных 30 на данной книжной полке.