Изобразите на графике функцию y=x2−4 . а) Определите координаты вершины параболы. б) Найдите значения аргумента

Gosha

27

Хорошо, давайте решим поставленную задачу.

а) Для определения координат вершины параболы, мы можем воспользоваться формулой x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае, у нас функция задана в виде y = x^2 - 4, поэтому коэффициенты a и b равны 1 и 0 соответственно.

Используя формулу, мы можем найти x-координату вершины параболы: x = -0 / (2 * 1) = 0. Теперь нам нужно найти y-координату вершины, подставив найденное значение x в исходную функцию: y = (0)^2 - 4 = -4.

Итак, координаты вершины параболы равны (0, -4).

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения, нам нужно решить неравенство y < 0, где y - это функция x^2 - 4.

Подставим исходную функцию x^2 - 4 в неравенство: x^2 - 4 < 0.

Разложим неравенство на множители: (x - 2)(x + 2) < 0.

Теперь нам нужно проанализировать каждый из двух множителей. Заметим, что (x - 2) < 0, если x < 2, и (x + 2) < 0, если x > -2.

Таким образом, решением неравенства будет промежуток (-2, 2).

в) Для определения промежутков, при которых функция возрастает, мы можем проанализировать знак производной функции.

Найдем производную функции y = x^2 - 4. Производная функции равна 2x.

Теперь решим неравенство 2x > 0. Разделим обе стороны на 2 и получим x > 0.

Таким образом, функция возрастает при x > 0.

г) Аналогичным образом, для определения промежутков, при которых функция убывает, мы можем проанализировать знак производной функции.

Производная функции y = x^2 - 4 равна 2x.

Решим неравенство 2x < 0. Разделим обе стороны на 2 и получим x < 0.

Таким образом, функция убывает при x < 0.

График функции y = x^2 - 4 будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-5, xmax=5,
ymin=-10, ymax=10,
xtick={-4,-2,0,2,4},
ytick={-8,-4,0,4,8},
legend pos=north west,
ymajorgrids=true,
xmajorgrids=true,
grid style=dashed,
]
\addplot[
color=blue,
domain=-5:5,
samples=100
]
{x^2 - 4};
\legend{$y=x^2 - 4$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Надеюсь, это помогло вам понять график функции, координаты вершины параболы, значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения, а также значения аргумента, при которых функция возрастает и убывает. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, сообщите мне.