Какое значение нужно найти в уравнении y = 2x² + 16x + c, если прямая y = 4x + 6 является касательной к графику этой

Искрящийся_Парень

68

Для того чтобы найти значение, которое нужно найти в уравнении \(y = 2x^2 + 16x + c\), когда прямая \(y = 4x + 6\) является касательной к графику этой функции, нам потребуется провести несколько шагов.

1. Шаг: Определите производную функции \(y = 2x^2 + 16x + c\).
Перед тем, как мы сможем выяснить, когда прямая \(y = 4x + 6\) является касательной, нам нужно найти производную функции \(y = 2x^2 + 16x + c\). Производная покажет нам скорость изменения функции в каждой точке графика.

Берем производную этой функции:
\[y" = \frac{d}{dx}(2x^2 + 16x + c)\]

Чтобы найти производную, мы используем правила дифференцирования. Поскольку производная константы равна нулю \(c"\), наша задача сводится к дифференцированию \(2x^2\) и \(16x\). Дифференцируем каждый слагаемый:
\[y" = \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(16x) + \frac{d}{dx}(c)\]

В результате получаем:
\[y" = 4x + 16 + 0\]

Упрощаем выражение:
\[y" = 4x + 16\]

2. Шаг: Найдите \(x\), когда \(y" = 4\).

Мы хотим найти точку касания между графиком функции \(y = 2x^2 + 16x + c\) и прямой \(y = 4x + 6\), что означает, что производные этих функций должны быть равны. Поэтому мы должны приравнять \(y"\) к коэффициенту наклона прямой, который равен 4.

Поставляем \(4\) вместо \(y"\) в уравнении \(y" = 4x+16\) и решаем иточках этого уравнения:
\[4 = 4x + 16\]

Вычитаем \(16\) с обоих сторон уравнения:
\[4 - 16 = 4x\]

Упрощаем:
\[-12 = 4x\]

Разделим обе части на \(4\):
\[-3 = x\]

3. Шаг: Найдите значение y в найденной точке x.

Теперь, когда мы нашли значения \(x\) в точке касания, мы можем найти соответствующие значения \(y\). Заменим \(x = -3\) в функции \(y = 2x^2 + 16x + c\) и решим ее:
\[y = 2(-3)^2 + 16(-3) + c\]

Упрощаем и рассчитываем:
\[y = 2(9) - 48 + c\]
\[y = 18 - 48 + c\]
\[y = -30 + c\]

Таким образом, значение \(c\), которое нужно найти в уравнении \(y = 2x^2 + 16x + c\), когда прямая \(y = 4x + 6\) является касательной к графику этой функции, равно \(-30 + c\).