Известны точки: f (2; -3; 0), g (7; -5; -4) и n (-3; -1; -4). Перефразированные вопросы: 1) Каковы координаты векторов

Стрекоза

13

fg и gn?
5) Какова длина вектора d?

Хорошо, давай решим эту задачу.

1) Чтобы найти координаты векторов fg и gn, мы можем использовать координаты исходных точек.

Вектор fg - это вектор, который идет от точки f до точки g. Поэтому мы можем найти его координаты, вычислив разницу координат точек g и f по соответствующим осям.

\[ fg = (x_g - x_f, y_g - y_f, z_g - z_f) = (7-2, -5-(-3), -4-0) = (5, -2, -4) \]

Таким же образом, чтобы найти координаты вектора gn - это вектор, идущий от точки g до точки n - вычисляем разность координат этих точек.

\[ gn = (x_n - x_g, y_n - y_g, z_n - z_g) = (-3-7, -1-(-5), -4-(-4)) = (-10, 4, 0) \]

Таким образом, координаты векторов fg и gn соответственно: fg = (5, -2, -4) и gn = (-10, 4, 0).

2) Для вычисления модуля вектора fg, мы можем использовать формулу:

\[ |fg| = \sqrt{{x^2 + y^2 + z^2}} \]

где x, y и z - координаты вектора fg.

Подставляем значения координат из предыдущего пункта:

\[ |fg| = \sqrt{{5^2 + (-2)^2 + (-4)^2}} = \sqrt{{25 + 4 + 16}} = \sqrt{{45}} \]

Таким образом, модуль вектора fg равен \(\sqrt{{45}}\).

3) Чтобы найти координаты вектора d = (-2)fg + 3gn, мы можем просто выполнять соответствующие операции с координатами векторов fg и gn:

\[ d = (-2)fg + 3gn = (-2)(5, -2, -4) + 3(-10, 4, 0) \]

\[ d = (-10, 4, 8) + (-30, 12, 0) = (-40, 16, 8) \]

Таким образом, координаты вектора d равны (-40, 16, 8).

4) Чтобы найти косинус угла между векторами fg и gn, мы можем использовать формулу:

\[ \cos \theta = \frac{{fg \cdot gn}}{{|fg| \cdot |gn|}} \]

где fg \cdot gn - скалярное произведение векторов fg и gn, а |fg| и |gn| - модули соответствующих векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:

\[ fg \cdot gn = (5, -2, -4) \cdot (-10, 4, 0) = 5 \cdot (-10) + (-2) \cdot 4 + (-4) \cdot 0 = -50 - 8 + 0 = -58 \]

Теперь найдем модули векторов fg и gn:

|fg| = \(\sqrt{{45}}\) (как мы вычислили во втором пункте)

|gn| = \(\sqrt{{(-10)^2 + 4^2 + 0^2}} = \sqrt{{116}}\)

Теперь, подставим все значения в формулу для косинуса:

\[\cos \theta = \frac{{-58}}{{\sqrt{{45}} \cdot \sqrt{{116}}}}\]

5) Чтобы найти длину вектора d, мы можем использовать ту же формулу, что и во втором пункте:

\[ |d| = \sqrt{{x^2 + y^2 + z^2}} \]

где x, y и z - координаты вектора d.

Подставляем значения координат из третьего пункта:

\[ |d| = \sqrt{{(-40)^2 + 16^2 + 8^2}} = \sqrt{{1600 + 256 + 64}} = \sqrt{{1920}} \]

Таким образом, длина вектора d равна \(\sqrt{{1920}}\).

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам решить задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.