К какому из чисел, √76 или √78, находится ближе число √77?

Pechenye

35

Чтобы определить, к какому из чисел, \(\sqrt{76}\) или \(\sqrt{78}\), находится ближе число \(\sqrt{77}\), нам необходимо вычислить расстояние между \(\sqrt{77}\) и каждым из данных чисел.

Начнем с \(\sqrt{76}\). Чтобы вычислить расстояние между \(\sqrt{77}\) и \(\sqrt{76}\), мы вычитаем значение \(\sqrt{76}\) из \(\sqrt{77}\):

\[\sqrt{77} - \sqrt{76}\]

Для удобства дальнейших вычислений мы можем умножить эту разность на такое выражение, которое избавится от квадратных корней в знаменателе. Умножим и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{77} + \sqrt{76}\):

\[\frac{{(\sqrt{77} - \sqrt{76})(\sqrt{77} + \sqrt{76})}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{76})}}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{{(\sqrt{77})^2 - (\sqrt{76})^2}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{76})}}\]

Раскроем экспоненты:

\[\frac{{77 - 76}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{76})}}\]

Упростим числитель:

\[\frac{{1}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{76})}}\]

Теперь рассмотрим \(\sqrt{78}\). Аналогичным образом мы найдем разность между \(\sqrt{77}\) и \(\sqrt{78}\):

\[\sqrt{77} - \sqrt{78}\]

Умножим и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{77} + \sqrt{78}\):

\[\frac{{(\sqrt{77} - \sqrt{78})(\sqrt{77} + \sqrt{78})}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{78})}}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{{(\sqrt{77})^2 - (\sqrt{78})^2}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{78})}}\]

Раскроем экспоненты:

\[\frac{{77 - 78}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{78})}}\]

Упростим числитель:

\[\frac{{-1}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{78})}}\]

Теперь, чтобы определить, к какому числу ближе \(\sqrt{77}\), мы сравним оба значения.

Сравним:

\[\frac{{1}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{76})}}\]

с

\[\frac{{-1}}{{(\sqrt{77} + \sqrt{78})}}\]

Очевидно, что первое значение положительное, а второе — отрицательное. Таким образом, \(\sqrt{76}\) находится ближе к \(\sqrt{77}\) по сравнению с \(\sqrt{78}\).

Ответ: \(\sqrt{76}\)