Как доказать периодичность функции Y = sin(4x/5) при t = 5/2pi?

Манго_3538

19

Для доказательства периодичности функции \(Y = \sin\left(\frac{4x}{5}\right)\) при \(t = \frac{5}{2\pi}\) мы должны показать, что \(Y\) принимает одно и то же значение через определенные интервалы \(\Delta x\).

Для начала, давайте рассмотрим, что означает периодичность функции. Функция \(Y\) является периодической, если она повторяется через равные интервалы вдоль оси аргумента.

Для данной функции, мы можем выразить период \(P\) как \(P = \frac{2\pi}{k}\), где \(k\) - коэффициент при \(x\). В данном случае \(k = \frac{4}{5}\), поэтому период функции будет \(P = \frac{2\pi}{\frac{4}{5}} = \frac{5\pi}{2}\).

Теперь, чтобы доказать периодичность функции \(Y\) при \(t = \frac{5}{2\pi}\), мы должны показать, что \(Y\) принимает одно и то же значение на интервалах длиной \(P\).

Давайте подставим \(t = \frac{5}{2\pi}\) в функцию \(Y\):

\[Y = \sin\left(\frac{4 \cdot \frac{5}{2\pi}}{5}\right) = \sin\left(\frac{2}{\pi}\right)\]

Таким образом, функция \(Y\) будет повторяться через каждый период \(P\) при \(t = \frac{5}{2\pi}\), то есть через каждые \(\frac{5\pi}{2}\) радиан.

Для более наглядного представления, рассмотрим значения функции \(Y\) на нескольких интервалах длиной \(P\):

При \(x = 0\) радиан, \(Y = \sin\left(\frac{4 \cdot 0}{5}\right) = \sin(0) = 0\).

При \(x = \frac{5\pi}{2}\) радиан, \(Y = \sin\left(\frac{4 \cdot \frac{5\pi}{2}}{5}\right) = \sin(2\pi) = 0\).

Как видим, функция \(Y\) принимает одно и то же значение \(0\) на интервале длиной \(P = \frac{5\pi}{2}\). Это подтверждает периодичность функции \(Y = \sin\left(\frac{4x}{5}\right)\) при \(t = \frac{5}{2\pi}\).