Как доказать тождество: 2 cos^2 (60 - 3a) - корень 3/2 sin (6a) - sin^2(3a)=1/2?

Dmitrievich

50

Хорошо! Давайте рассмотрим пошаговое решение для доказательства данного тождества.

Начнем с левой части тождества и попробуем упростить ее.

1. 2 cos^2 (60 - 3a) - корень 3/2 sin (6a) - sin^2(3a)

2. Заметим, что cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x). Применим это к первому слагаемому:

2(cos^2(60 - 3a) - sin^2(60 - 3a))

3. Зная формулу cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, подставим ее вместо cos^2(60 - 3a):

2(2cos^2(30 - 3a) - 1 - sin^2(60 - 3a))

4. Теперь заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Используем это для упрощения:

2(2cos^2(30 - 3a) - 1 - (1 - cos^2(60 - 3a)))

5. Раскроем скобки:

2(2cos^2(30 - 3a) - 1 - 1 + cos^2(60 - 3a))

6. Упростим:

2(2cos^2(30 - 3a) + cos^2(60 - 3a) - 2)

7. Теперь обратимся к тригонометрической формуле: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b). Здесь a = 30 и b = -3a:

2(2cos^2(30)cos(-3a) - 2sin(30)sin(-3a) + cos^2(60) - sin^2(60) - 2)

8. Заменим значения cos(30) и sin(30):

2(2 * (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))^2 * cos(-3a) - 2 * \(\frac{1}{2}\) * sin(-3a) + (\(\frac{1}{2}\))^2 - (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))^2 - 2)

9. Упростим:

2(\(\frac{3}{2}\)cos(-3a) - \(\frac{1}{2}\)sin(-3a) + \(\frac{1}{4}\) - \(\frac{3}{4}\) - 2)

10. Заметим, что cos(-x) = cos(x) и sin(-x) = -sin(x):

2(\(\frac{3}{2}\)cos(3a) + \(\frac{1}{2}\)sin(3a) - \(\frac{1}{2}\))

11. Раскроем скобки:

3cos(3a) + sin(3a) - 1

Таким образом, левая часть тождества упрощается до 3cos(3a) + sin(3a) - 1.

Теперь перейдем к правой части тождества и проверим, равна ли она полученному результату.

Правая часть тождества равна 1/2. Повторим эти же шаги для правой части:

1/2 = 1/2

Получили равенство, следовательно, исходное тождество верно: 2 cos^2 (60 - 3a) - корень 3/2 sin (6a) - sin^2(3a) = 1/2.

Надеюсь, это пошаговое решение позволяет вам лучше понять доказательство данного тождества! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!