Как исследовать функцию y=tg=|0.5x-п/6|?

Мурчик

57

Конечно, давайте разберемся, как исследовать функцию \(y = \tan(|0.5x - \frac{\pi}{6}|)\).

1. Сначала давайте разберемся, что такое тангенс. Тангенс угла \(\theta\) определяется как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне прямоугольного треугольника. Он часто используется для описания отношения высоты к длине тени в геометрии.

2. В данной задаче перед функцией тангенса стоит знак модуля \(|\cdot|\), что означает взятие абсолютного значения. То есть, мы должны взять выражение внутри модуля и подставить его вместо x в основную функцию. Таким образом, уравнение принимает две формы: \(y = \tan(0.5x - \frac{\pi}{6})\) и \(y = \tan(-0.5x + \frac{\pi}{6})\), в зависимости от знака внутри модуля.

3. Теперь давайте рассмотрим основные характеристики функции \(y = \tan(x)\). Она имеет множество периодов \(\pi\) по оси x, где \(\tan(x)\) повторяет свои значения. Однако, следует обратить внимание, что значения \(\tan(x)\) растут до бесконечности при значениях угла, равных \((2n+1)\frac{\pi}{2}\), где n - целое число. Эти значения называются точками разрыва функции тангенса.

4. Вернемся к исходной функции \(y = \tan(|0.5x - \frac{\pi}{6}|)\). Рассмотрим каждую из форм и построим графики, чтобы лучше понять поведение функции.

a. Форма 1: \(y = \tan(0.5x - \frac{\pi}{6})\)
- Для начала, найдем точки разрыва функции \(\tan\). Решим уравнение \(0.5x - \frac{\pi}{6} = (2n+1)\frac{\pi}{2}\).
Решение: \(x = (2n+1)\pi - \pi/3\), где n - целое число.
- Построим график функции \(y = \tan(0.5x - \frac{\pi}{6})\) без учета точек разрыва.
- Далее, обратимся к модулю. \(|0.5x - \frac{\pi}{6}|\) может быть положительным или нулевым.
- Разделим область определения на несколько интервалов и рассмотрим значения внутри модуля на каждом из них:
- При \(0.5x - \frac{\pi}{6} > 0\) (т. е. \(x > \frac{\pi}{3}\)), мы имеем \(|0.5x - \frac{\pi}{6}| = 0.5x - \frac{\pi}{6}\).
- При \(0.5x - \frac{\pi}{6} = 0\), мы имеем \(|0.5x - \frac{\pi}{6}| = 0\).
- При \(0.5x - \frac{\pi}{6} < 0\) (т. е. \(x < \frac{\pi}{3}\)), мы имеем \(|0.5x - \frac{\pi}{6}| = -0.5x + \frac{\pi}{6}\).
- Рассмотрим поведение функции на каждом из этих интервалов, построив соответствующие графики.

b. Форма 2: \(y = \tan(-0.5x + \frac{\pi}{6})\)
- Аналогично первому случаю, мы найдем точки разрыва функции \(\tan\). Решим уравнение \(-0.5x + \frac{\pi}{6} = (2n+1)\frac{\pi}{2}\).
Решение: \(x = (2n+1)\pi + \pi/3\), где n - целое число.
- Построим график функции \(y = \tan(-0.5x + \frac{\pi}{6})\) без учета точек разрыва.
- Рассмотрим значения внутри модуля на каждом интервале:
- При \(-0.5x + \frac{\pi}{6} > 0\) (т. е. \(x < \frac{\pi}{3}\)), мы имеем \(|0.5x - \frac{\pi}{6}| = -0.5x + \frac{\pi}{6}\).
- При \(-0.5x + \frac{\pi}{6} = 0\), мы имеем \(|0.5x - \frac{\pi}{6}| = 0\).
- При \(-0.5x + \frac{\pi}{6} < 0\) (т. е. \(x > \frac{\pi}{3}\)), мы имеем \(|0.5x - \frac{\pi}{6}| = 0.5x - \frac{\pi}{6}\).
- Рассмотрим поведение функции на каждом интервале, построив соответствующие графики.

5. Особые точки на графике функции. Мы уже рассмотрели точки разрыва функции \(\tan\), а они влияют на наши графики. Помимо этого, стоит отметить особую точку, когда аргумент внутри модуля равен нулю. В этом случае \(\tan(0) = 0\), то есть при \(0.5x - \frac{\pi}{6} = 0\) или \(-0.5x + \frac{\pi}{6} = 0\) значение функции равно нулю.

6. Важно помнить, что график функции \(y = \tan(|0.5x - \frac{\pi}{6}|)\) будет состоять из нескольких частей, и каждая будет иметь свои особенности в зависимости от знака внутри модуля и точек разрыва.

Я надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять, как исследовать функцию \(y = \tan(|0.5x - \frac{\pi}{6}|)\) более детально.