Как изменить неравенство logπ(3x+2)> _logπ(x-1)?

Черная_Медуза

37

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства логарифмов и неравенств. Для начала, давайте вспомним свойства логарифма:

1. log a(bc) = log a(b) + log a(c)
2. log a(b/c) = log a(b) - log a(c)
3. log a(b^n) = n * log a(b)

Теперь рассмотрим данное неравенство logπ(3x+2) > _logπ(x-1). Обратите внимание, что знак ">" указывает на больше, поэтому нам необходимо найти интервалы значений переменной x, для которых данное неравенство будет выполняться.

1. Вначале применим свойство 1, чтобы объединить два логарифма в одном выражении:
logπ(3x+2) > _logπ(x-1)
logπ((3x+2)/(x-1)) > 0

2. Затем применим свойство 2, чтобы перенести логарифм в другую часть неравенства:
logπ((3x+2)/(x-1)) - 0 > 0
logπ((3x+2)/(x-1)) > 0

3. Для того чтобы найти точки, в которых левая сторона неравенства равна нулю, рассмотрим два случая:

1) (3x+2)/(x-1) > 1
2) (3x+2)/(x-1) < 1

4. Решим первый случай:

(3x+2)/(x-1) > 1

Умножим обе стороны неравенства на (x-1):

(3x+2) > (x-1)

Раскроем скобки:

3x + 2 > x - 1

Перенесем все переменные на одну сторону:

2 - 1 > x - 3x

Упростим:

1 > -2x

Изменим направление неравенства и разделим на -2, не забывая поменять знак неравенства:

-1/2 < x

Таким образом, первое положение, в котором выполнено логарифмическое неравенство, имеет вид: x > -1/2.

5. Решим второй случай:

(3x+2)/(x-1) < 1

Аналогично находим интервалы значений переменной:

2 - 1 < x - 3x

1 < -2x

-1/2 > x

Во втором случае, логарифмическое неравенство выполняется, если x < -1/2.

6. Теперь объединим оба интервала значений "x":

-1/2 < x < ∞

Таким образом, чтобы неравенство logπ(3x+2) > _logπ(x-1) выполнялось, значение переменной x должно находиться в интервале от -1/2 до плюс бесконечности.