1) Решите уравнение 3x−9=7x+9. 2) Могут ли уравнения x2−4=0 и (x+2)⋅(2x−4)=0 быть эквивалентными? 3) Определите лишний

Zolotoy_Drakon_4831

69

1) Для решения уравнения необходимо сначала выразить \(x\) в одной части уравнения. Примем следующие шаги:

\[
\begin{align*}
3x - 9 &= 7x + 9 \\
3x - 7x &= 9 + 9 \\
-4x &= 18 \\
x &= \frac{{18}}{{-4}} \\
x &= -\frac{{9}}{{2}}
\end{align*}
\]

Ответ: \(x = -\frac{{9}}{{2}}\)

2) Для того чтобы узнать, могут ли уравнения быть эквивалентными, необходимо решить каждое уравнение и сравнить полученные корни. Применим следующие шаги:

a) Решим уравнение \(x^2 - 4 = 0\):

\[
\begin{align*}
x^2 - 4 &= 0 \\
(x + 2)(x - 2) &= 0
\end{align*}
\]

Здесь мы используем формулу разности квадратов. Получаем два возможных значения \(x\): \(x = -2\) и \(x = 2\).

b) Решим уравнение \((x + 2)(2x - 4) = 0\):

\[
\begin{align*}
(x + 2)(2x - 4) &= 0 \\
2(x + 2)(x - 2) &= 0
\end{align*}
\]

Снова используем формулу разности квадратов. Здесь мы также получаем два возможных значения \(x\): \(x = -2\) и \(x = 2\).

Таким образом, полученные корни в обоих уравнениях идентичны, что подтверждает их эквивалентность.

Ответ: Да, уравнения \(x^2 - 4 = 0\) и \((x + 2)(2x - 4) = 0\) эквивалентны.

3) Для определения лишнего корня уравнения \(\log_2(1-x) + \log_2(2-x) = 1\), нужно решить его сначала. Применим следующие шаги:

\[
\begin{align*}
\log_2(1-x) + \log_2(2-x) &= 1 \\
\log_2((1-x)(2-x)) &= 1 \\
(1-x)(2-x) &= 2 \\
x^2 - 3x + 2 &= 0 \\
(x - 1)(x - 2) &= 0
\end{align*}
\]

Мы получаем два возможных значения \(x\): \(x = 1\) и \(x = 2\). Они являются корнями данного уравнения.

Теперь проверим каждое значение в исходном уравнении, чтобы найти лишний корень:

При \(x = 1\):
\(\log_2(1-1) + \log_2(2-1) = 0 + \log_2(1) = 0 + 0 = 0\)

При \(x = 2\):
\(\log_2(1-2) + \log_2(2-2) = \log_2(-1) + \log_2(0)\)

Здесь \(\log_2(-1)\) и \(\log_2(0)\) не имеют действительных значений, поэтому корень \(x = 2\) является лишним.

Ответ: Лишний корень уравнения \(\log_2(1-x) + \log_2(2-x) = 1\) - \(x = 2\).

4) Чтобы определить, имеет ли уравнение \(3x - 6 = 9 - 7x\) решения, решим его. Применим следующие шаги:

\[
\begin{align*}
3x - 6 &= 9 - 7x \\
3x + 7x &= 9 + 6 \\
10x &= 15 \\
x &= \frac{{15}}{{10}} \\
x &= \frac{{3}}{{2}}
\end{align*}
\]

Уравнение имеет решение \(x = \frac{{3}}{{2}}\).

Ответ: Уравнение \(3x - 6 = 9 - 7x\) имеет решение \(x = \frac{{3}}{{2}}\).

5) Чтобы найти корни уравнения \(\sqrt{8x} - 7 = x - 2\), решим его. Применим следующие шаги:

\[
\begin{align*}
\sqrt{8x} - 7 &= x - 2 \\
\sqrt{8x} &= x - 2 + 7 \\
\sqrt{8x} &= x + 5 \\
8x &= (x + 5)^2 \\
8x &= x^2 + 10x + 25 \\
x^2 + 2x + 25 &= 0 \\
(x + 5)^2 &= 0
\end{align*}
\]

Здесь мы получаем единственный возможный корень \(x = -5\).

Ответ: Корень уравнения \(\sqrt{8x} - 7 = x - 2\) - \(x = -5\).

6) Чтобы найти корни уравнения \(\log_8(x+1) + \log_8(8+x) = 1\), решим его. Применим следующие шаги:

\[
\begin{align*}
\log_8(x+1) + \log_8(8+x) &= 1 \\
\log_8[(x+1)(8+x)] &= 1 \\
\log_8(64 + 9x + x^2) &= 1 \\
8^1 &= 64 + 9x + x^2 \\
8 &= 64 + 9x + x^2 \\
x^2 + 9x + 56 &= 0
\end{align*}
\]

Это квадратное уравнение, и мы можем его решить путем факторизации или использования квадратного корня. Однако в данном случае факторизация не является простой задачей, поэтому воспользуемся формулой квадратного корня:

\[
x = \frac{{-9 \pm \sqrt{{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
x = \frac{{-9 \pm \sqrt{{81 - 224}}}}{{2}}
\]

\[
x = \frac{{-9 \pm \sqrt{{-143}}}}{{2}}
\]

Поскольку подкоренное выражение \(-143\) отрицательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Уравнение \(\log_8(x+1) + \log_8(8+x) = 1\) не имеет решений в действительных числах.

7) Чтобы найти корни уравнения \(\log_x+2(x^2 - 1) = \log_x+2(7x - 7)\), решим его. Применим следующие шаги:

\[
\begin{align*}
\log_x+2(x^2 - 1) &= \log_x+2(7x - 7) \\
\log_x+2(x^2 - 1) &= \log_x+2(7(x - 1)) \\
x^2 - 1 &= 7(x - 1) \\
x^2 - 1 &= 7x - 7 \\
x^2 - 7x - 1 + 7 &= 0 \\
x^2 - 7x + 6 &= 0 \\
(x - 1)(x - 6) &= 0
\end{align*}
\]

Здесь мы получаем два возможных значения \(x\): \(x = 1\) и \(x = 6\).

Проверим каждое значение в исходном уравнении, чтобы найти лишний корень (если таковой имеется):

При \(x = 1\):
\(\log_1+2(1^2 - 1) = \log_1+2(7 \cdot (1 - 1)) = \log_1+2(0)\)
Здесь знаменатель \(\log_1\) равен нулю, что не имеет смысла, поэтому корень \(x = 1\) лишний.

Ответ: Корень уравнения \(\log_x+2(x^2 - 1) = \log_x+2(7x - 7)\) - \(x = 6\). Лишний корень - \(x = 1\).

8) Чтобы найти корни уравнения \((x^2 - 16)(\sqrt{4} - 3x + x) = 0\), решим его. Применим следующие шаги:

\[
\begin{align*}
(x^2 - 16)(\sqrt{4} - 3x + x) &= 0 \\
(x^2 - 16)(2 - 2x) &= 0 \\
(x - 4)(x + 4)(2 - 2x) &= 0
\end{align*}
\]

Здесь мы получаем три возможных значения \(x\): \(x = -4\), \(x = 4\) и \(x = 1\).

Ответ: Корни уравнения \((x^2 - 16)(\sqrt{4} - 3x + x) = 0\) - \(x = -4\), \(x = 4\) и \(x = 1\).

___
9) К сожалению, вы не указали уравнение №9. Пожалуйста, предоставьте уравнение, и я помогу вам найти его корни.