Как изменится масса пружинного маятника, если его частота колебаний увеличивается вдвое? Предоставьте объяснение

Луна_В_Очереди

69

Чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо использовать формулу для периода \(T\) колебаний пружинного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(m\) - масса маятника и \(k\) - коэффициент жёсткости пружины.

Дано, что частота колебаний увеличивается вдвое. Частота колебаний выражается как обратное значение периода \(f = \frac{1}{T}\). Таким образом, если частота колебаний увеличивается вдвое, это означает, что период уменьшается вдвое.

Для решения задачи нам нужно найти зависимость между периодом \(T\) и массой \(m\) пружинного маятника. Можно переписать формулу для периода следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow T^2 = \frac{4\pi^2m}{k} \Rightarrow m = \frac{T^2k}{4\pi^2}\]

Теперь, когда у нас есть выражение для массы \(m\) через период \(T\) и коэффициент жёсткости \(k\), мы можем выяснить, как изменится масса при увеличении частоты колебаний вдвое.

Пусть \(T_1\) и \(T_2\) - исходный и новый периоды, соответственно. Подставим \(T_2 = \frac{T_1}{2}\) в выражение для массы:

\[m_2 = \frac{T_2^2k}{4\pi^2} = \frac{(\frac{T_1}{2})^2k}{4\pi^2} = \frac{T_1^2k}{16\pi^2}\]

Таким образом, масса пружинного маятника при увеличении частоты колебаний вдвое уменьшится в 16 раз.

Обоснование:

Когда частота колебаний увеличивается вдвое, это означает, что период колебаний уменьшается вдвое. Формула \(m = \frac{T^2k}{4\pi^2}\) показывает, что масса маятника зависит от квадрата периода. Если период уменьшается вдвое, его квадрат сокращается в четыре раза, поэтому масса должна уменьшаться в 16 раз, чтобы сохранить частоту колебаний вдвое.

Таким образом, масса пружинного маятника изменится в 16 раз при увеличении его частоты колебаний вдвое.