Каково уравнение, описывающее распространение плоской электромагнитной волны в среде с ε

Пугающий_Лис_6057

20

Для начала нам необходимо понять, что такое плоская электромагнитная волна. Плоская электромагнитная волна - это особый вид волны, который характеризуется тем, что векторы электрического и магнитного полей всегда перпендикулярны друг другу и перпендикулярны направлению распространения волны.

Для описания распространения плоской электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью (\(\varepsilon\)) мы можем использовать уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Используя эти уравнения, мы можем получить уравнения вида:

\[\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\]
\[\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\]
\[\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho\]
\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\]

где \(\mathbf{E}\) - вектор напряженности электрического поля, \(\mathbf{H}\) - вектор напряженности магнитного поля, \(\mathbf{D}\) - вектор электрического смещения, \(\mathbf{B}\) - вектор магнитной индукции, \(\rho\) - плотность электрического заряда.

Для плоской электромагнитной волны электрическое и магнитное поля могут быть описаны следующим образом:

\(\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}\)
\(\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{H}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}\)

где \(\mathbf{E}_0\) и \(\mathbf{H}_0\) - комплексные амплитуды векторов полей, \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор плоскости, \(\mathbf{k}\) - волновой вектор, а \(\omega\) - круговая частота волны.

Зная, что \(\mathbf{D} = \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf{E}\) и \(\mathbf{B} = \mu \mu_0 \mathbf{H}\), мы можем заменить выражения для \(\mathbf{D}\) и \(\mathbf{B}\) и получить:

\[\nabla \times \mathbf{E} = -i \omega \mu \mu_0 \mathbf{H}\]
\[\nabla \times \mathbf{H} = i \omega \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf{E}\]

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы получить уравнение, описывающее распространение плоской электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью (\(\varepsilon\)). Для этого мы берем вторую производную по времени от уравнения \(\nabla \times \mathbf{E} = -i \omega \mu \mu_0 \mathbf{H}\) и заменяем \(\nabla \times \mathbf{H}\) из уравнения \(\nabla \times \mathbf{H} = i \omega \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf{E}\):

\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -i \omega \mu \mu_0 \nabla \times \mathbf{H}\]
\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -i \omega \mu \mu_0 i \omega \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf{E}\]

Теперь воспользуемся тождеством векторного анализа, где \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}\):

\[\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = -i \omega \mu \mu_0 i \omega \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf{E}\]
\[\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0\]

где \(k = \omega \sqrt{\mu \varepsilon} = \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon \mu} = \frac{\omega}{c} n\), \(c\) - скорость света в вакууме, а \(n\) - показатель преломления среды.

Таким образом, мы получаем уравнение для распространения плоской электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью (\(\varepsilon\)):

\[\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0\]