Как изменится отношение объемов v1 и v2 в цилиндре при сжатии постоянной массы воздуха, если давление возрастает

Cherepashka_Nindzya

45

Для того чтобы понять, как изменится отношение объемов \(v_1\) и \(v_2\) в цилиндре при сжатии постоянной массы воздуха, учитывая увеличение давления в 3 раза и увеличение температуры газа в 2 раза, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта и закон Гей-Люссака.

Закон Бойля-Мариотта утверждает, что при постоянной температуре теплового состояния объем газа обратно пропорционален его давлению. Математически, это выражается следующим образом: \(P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\), где \(P_1\) и \(P_2\) - начальное и конечное давление соответственно, а \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объемы соответственно.

Закон Гей-Люссака утверждает, что объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре при постоянном давлении. Математически: \(\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\), где \(T_1\) и \(T_2\) - начальная и конечная температуры соответственно.

Дано: \(P_2 = 3 \cdot P_1\) и \(T_2 = 2 \cdot T_1\). Наша задача - найти отношение объемов \(\frac{{V_1}}{{V_2}}\).

Решение:
Используя закон Бойля-Мариотта, можем записать:
\(P_1 \cdot V_1 = (3 \cdot P_1) \cdot V_2\)

Сокращая \(P_1\) с обеих сторон, получаем:
\(V_1 = 3 \cdot V_2\) ---(1)

Используя закон Гей-Люссака, можем записать:
\(\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\)

Заменяем \(V_1\) из уравнения (1):
\(\frac{{3 \cdot V_2}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\)

Раскрываем множитель 3:
\(\frac{{3 \cdot V_2}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{2 \cdot T_1}}\)

Убираем знаменатель T_1 с обеих сторон и умножаем на 2:
\(2 \cdot 3 \cdot V_2 = V_2\)

Раскрываем множители:
\(6 \cdot V_2 = V_2\)

Теперь выражаем \(V_1\) через \(V_2\):
\(V_1 = 6 \cdot V_2\) ---(2)

Отношение объемов \(\frac{{V_1}}{{V_2}}\) равно \(\frac{{6 \cdot V_2}}{{V_2}}\), что равно 6.

Итак, отношение объемов \(v_1\) и \(v_2\) в цилиндре при сжатии постоянной массы воздуха, при увеличении давления в 3 раза и увеличении температуры газа в 2 раза, будет равно 6.