Как изменится период вращения звезды после того, как она увеличит свой объем в 8 раз, предполагая, что она была

Bukashka

68

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса является важной физической характеристикой вращающихся объектов и определяется произведением момента инерции на угловую скорость. В данном случае, когда звезда увеличивает свой объем, ее момент инерции также изменится.

Период вращения звезды до увеличения объема можно обозначить как \(T_1\) и период вращения после увеличения объема как \(T_2\). По закону сохранения момента импульса для замкнутой системы без внешних крутящих моментов имеем:

\[I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\]

где \(I_1\) и \(I_2\) - моменты инерции звезды до и после увеличения объема соответственно, а \(\omega_1\) и \(\omega_2\) - угловые скорости звезды до и после увеличения объема соответственно.

Момент инерции шара можно выразить как:

\[I = \frac{2}{5} m r^2\]

где \(m\) - масса звезды и \(r\) - радиус звезды.

Из задачи известно, что объем звезды увеличивается в 8 раз. Поскольку объем шара пропорционален третьей степени его радиуса, то можно сказать, что радиус звезды увеличивается в 2 раза (\(r_2 = 2r_1\)), где \(r_1\) - исходный радиус звезды.

Также известно, что период вращения звезды до увеличения объема составляет 1 месяц (\(T_1 = 1\)). Чтобы найти период вращения после увеличения объема (\(T_2\)), нам нужно сначала найти новый момент инерции звезды.

Подставим значения моментов инерции и угловых скоростей в уравнение сохранения момента импульса:

\[\frac{2}{5} m_1 r_1^2 \cdot \omega_1 = \frac{2}{5} m_2 r_2^2 \cdot \omega_2\]

Заметим, что масса звезды остается неизменной (\(m_1 = m_2 = m\)).

Теперь мы можем выразить угловую скорость после увеличения объема (\(\omega_2\)) через известные значения:

\[\frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \omega_1 = \omega_2\]

Подставим полученное выражение для \(\omega_2\) в формулу периода вращения:

\[T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}\]

Заменим \(\omega_2\) в этой формуле и получим выражение для периода вращения после увеличения объема:

\[T_2 = \frac{2\pi}{\frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \omega_1}\]

Теперь можем найти \(T_2\) , подставив значения \(r_1 = r\), \(r_2 = 2r\) и \(\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}\):

\[T_2 = \frac{2\pi}{\frac{r^2}{(2r)^2} \cdot \frac{2\pi}{1}}\]

Упростим выражение:

\[T_2 = \frac{4\pi^2}{r^2} \cdot 2r^2\]

\[T_2 = \frac{8\pi^2 r^2}{r^2}\]

Из этого получаем окончательный ответ:

\[T_2 = 8\pi^2\]

Таким образом, период вращения звезды после увеличения объема в 8 раз составит \(8\pi^2\) или приближенно 79.6 месяцев.