Как изменится угловое ускорение диска, если его радиус увеличивается в два раза при постоянном приложении вращающего

Екатерина

4

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы сохранения момента импульса и момента силы.

Общий момент импульса системы можно выразить через угловую скорость \( \omega \) и момент инерции \( I \) с помощью формулы:
\[ L = I\omega \]

По условию задачи, масса диска остается неизменной, а его радиус увеличивается в два раза, то есть начальный момент инерции \( I_{\text{нач}} \) становится равным:
\[ I_{\text{нач}} = m r_{\text{нач}}^2 \]

Где \( m \) - масса диска, а \( r_{\text{нач}} \) - начальный радиус диска.

После увеличения радиуса в два раза, новый момент инерции \( I_{\text{нов}} \) можно выразить следующим образом:
\[ I_{\text{нов}} = m (2r_{\text{нач}})^2 = 4m r_{\text{нач}}^2 \]

Так как приложенный вращающий момент остается постоянным, \( L \) также должен остаться неизменным. Изначально момент импульса равен \( L_{\text{нач}} = I_{\text{нач}}\omega_{\text{нач}} \), а после изменения радиуса он станет равным \( L_{\text{нов}} = I_{\text{нов}}\omega_{\text{нов}} \).

Таким образом, мы можем написать следующее уравнение:
\[ L_{\text{нач}} = L_{\text{нов}} \]

Подставляя значения моментов инерции и угловых скоростей, мы получаем:
\[ I_{\text{нач}}\omega_{\text{нач}} = I_{\text{нов}}\omega_{\text{нов}} \]

Раскрывая значения моментов инерции, получаем:
\[ m r_{\text{нач}}^2 \omega_{\text{нач}} = 4m r_{\text{нач}}^2 \omega_{\text{нов}} \]

Масса \( m \) и начальный радиус \( r_{\text{нач}} \) можно сократить с обеих сторон уравнения:
\[ r_{\text{нач}}^2 \omega_{\text{нач}} = 4 r_{\text{нач}}^2 \omega_{\text{нов}} \]

Раскрывая скобки, получаем:
\[ \omega_{\text{нач}} = 4 \omega_{\text{нов}} \]

Таким образом, угловая скорость диска уменьшится в 4 раза при увеличении его радиуса в два раза при постоянном приложении вращающего момента и неизменной массе.