Как изменится уравнение 5sin^2x + 8cosx + 1 = |cosx| + cos^2x после замены модуля косинуса? Заранее спасибо

Vaska_3950

50

Для начала рассмотрим уравнение 5sin^2x + 8cosx + 1 = |cosx| + cos^2x, и посмотрим, как оно изменится после замены модуля косинуса.

1. Замена модуля косинуса:
Рассмотрим, что происходит с правой частью уравнения, где находится модуль косинуса.
|cosx| - это абсолютное значение cosx, то есть оно всегда будет положительным. Поэтому можно записать |cosx| = cosx.

2. После замены получим новое уравнение:
5sin^2x + 8cosx + 1 = cosx + cos^2x.

3. Преобразуем новое уравнение:
Раскроем квадрат cos^2x: cos^2x = (cosx)^2.
Получим: 5sin^2x + 8cosx + 1 = cosx + (cosx)^2.

4. Приведем подобные слагаемые:
Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:
(cosx)^2 + 4cosx + 1 - 5sin^2x = 0.

5. Подведем уравнение к квадратному виду:
Для этого перенесем все слагаемые влево и упростим:
(cosx)^2 + 4cosx - 5sin^2x + 1 = 0.

6. Разложим множество \(\sin^2x\) в уравнении:
Используем формулу тригонометрии: \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\).
Заменим \(\sin^2x\) в уравнении, получим:
(cosx)^2 + 4cosx - 5(1 - (cosx)^2) + 1 = 0.

7. Раскроем скобки и упростим выражение:
(cosx)^2 + 4cosx - 5 + 5(cosx)^2 + 1 = 0.
6(cosx)^2 + 4cosx - 4 = 0.

8. Разделим уравнение на 2, чтобы упростить:
3(cosx)^2 + 2cosx - 2 = 0.

9. Теперь мы имеем квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Чтобы решить его, воспользуемся формулой дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac\).

10. Найдем дискриминант:
\(D = (2)^2 - 4(3)(-2) = 4 + 24 = 28\).

11. Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения.

12. Используем формулу для нахождения корней:
\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).
Подставим значения: \(\frac{{-2 \pm \sqrt{28}}}{{2 \cdot 3}}\).

13. Упростим выражение:
\(\frac{{-2 \pm 2\sqrt{7}}}{{6}}\).

Итак, после замены модуля косинуса уравнение 5sin^2x + 8cosx + 1 = |cosx| + cos^2x преобразуется в \(3(cosx)^2 + 2cosx - 2 = 0\), а его корни равны: \(x_1 = \frac{{-2 + 2\sqrt{7}}}{{6}}\) и \(x_2 = \frac{{-2 - 2\sqrt{7}}}{{6}}\).