Как изменится зависимость е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей (i
Как изменится зависимость е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей (i, ii, iii), используя теорему остроградского- гаусса? Заряды равномерно распределены на двух концентрических сферах с радиусами r и 2r и поверхностными плотностями p1 и p2 (с плотностями p1=-2p и p2=p). Как вычислить напряженность е в точке, находящейся на расстоянии r от центра, и в каком направлении указать вектор е? Принять p=0,1мккл/м2 и r=3r. Как построить график данной зависимости?
Myshka 31
Давайте рассмотрим каждую область по очереди (i, ii, iii) и применим теорему остроградского-гаусса для вычисления зависимости е(r) напряженности электрического поля от расстояния.(i) В области, где расстояние от центра до точки равно \(r\), применим теорему остроградского-гаусса к сфере с радиусом \(r\):
\[
\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} = \frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}
\]
Здесь \(\mathbf{E}\) - напряженность электрического поля, \(\mathbf{dA}\) - элемент площадки, \(Q_{\text{внутр}}\) - суммарный заряд, заключенный внутри сферы, \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная. Поскольку заряд равномерно распределен на сфере, то \(Q_{\text{внутр}} = 4\pi r^2 p_1\), где \(p_1\) - плотность заряда.
Так как радиус сферы \(r\) дан, мы можем найти \(Q_{\text{внутр}}\):
\(Q_{\text{внутр}} = 4\pi \cdot (3r)^2 \cdot p_1 = 36\pi r^2 p_1\)
Теперь мы можем оценить поток вектора электрического поля через сферу:
\(\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} = E \oint dA = E \cdot 4\pi r^2\), где \(E\) - напряженность электрического поля.
Применяя теорему остроградского-гаусса, получим:
\(E \cdot 4\pi r^2 = \frac{36\pi r^2 p_1}{\varepsilon_0}\)
Решая это уравнение относительно \(E\), найдем значение напряженности электрического поля в области (i).
(ii) В области, где расстояние от центра до точки равно \(2r\), применим теорему остроградского-гаусса к сфере с радиусом \(2r\). Аналогично, получим:
\(\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} = \frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}\)
\(Q_{\text{внутр}} = 4\pi \cdot (3r)^2 \cdot p_2 = 36\pi r^2 p_2\)
\(\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} = E \cdot 4\pi (2r)^2\)
\(E \cdot 4\pi (2r)^2 = \frac{36\pi r^2 p_2}{\varepsilon_0}\)
(iii) В области, где расстояние от центра до точки находится между \(r\) и \(2r\), тут необходимо поделить сферу на две части: сферу радиусом \(2r\) и сферическую поверхность радиусом \(r\), от которой мы уже рассмотрели случай (i).
Поток через сферу радиусом \(2r\) рассмотрен в случае (ii), поэтому остается рассмотреть только поток через сферическую поверхность радиусом \(r\).
Аналогично тому, как мы делали в случае (i), в уравнении для потока можно заменить \(Q_{\text{внутр}}\) на \(36\pi r^2 p_1\). Тогда мы получим:
\(E \cdot 4\pi r^2 = \frac{36\pi r^2 p_1}{\varepsilon_0}\)
Теперь у нас есть выражения для напряженности электрического поля в каждой из трех областей.
Что касается направления вектора \(E\), мы можем воспользоваться правилом дамбаровского правого винта. В случае сферы, дамбаровским правым винтом считается такая конструкция, если бы вы закрутили винт вокруг оси расстояния от центра электрического поля и смотрели бы в сторону противоположную указанной оси, то направление винта привело бы к направлению вектора напряженности электрического поля.
Теперь рассмотрим построение графика данной зависимости. Мы можем построить график значения напряженности электрического поля в зависимости от расстояния \(r\). На оси \(x\) отложим расстояние \(r\), а на оси \(y\) - значение напряженности электрического поля \(E\). Таким образом, полученный график покажет, как зависит \(E\) от \(r\) в каждой из трех областей.