Как изменяется тангенциальное ускорение материальной точки в зависимости от времени, если она движется по окружности

Chudesnyy_Korol_3723

58

Тангенциальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности, зависит от времени и радиуса окружности. Для нахождения ускорения в данном случае нам понадобится знать радиус окружности и производную скорости по времени.

Значение скорости точки определяется уравнением \(v = (-1)t^3 + (-2)t + (1)t^2 + (2)t\). Чтобы найти тангенциальное ускорение материальной точки, нужно вычислить производную скорости по времени:

\[a = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Для того, чтобы найти производную, мы возьмем производную каждого члена уравнения по отдельности. После этого сложим все члены, чтобы найти общую производную скорости.

\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}((-1)t^3 + (-2)t + (1)t^2 + (2)t)\]

\[a = \frac{{d}}{{dt}}(-1)t^3 + \frac{{d}}{{dt}}(-2)t + \frac{{d}}{{dt}}(1)t^2 + \frac{{d}}{{dt}}(2)t\]

Теперь мы применим правила дифференцирования. Производная константы равна нулю, и производная \(t^n\) равна \(nt^{n-1}\).

\[a = -1 \cdot 3t^2 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2t + 2 \cdot 1\]

\[a = -3t^2 - 2 + 2t + 2\]

Сокращая слагаемые, получим окончательный результат:

\[a = -3t^2 + 2t\]

Таким образом, тангенциальное ускорение материальной точки в данном случае равно \(a = -3t^2 + 2t\). Это уравнение позволяет нам определить величину ускорения в любой момент времени при движении по окружности радиусом 80 см.