Как изменяются модуль скорости и период обращения космического корабля вокруг Земли, если он сместился с одной круговой

Пламенный_Демон

19

Когда космический корабль перемещается с одной круговой орбиты на другую круговую орбиту большего радиуса вокруг Земли, модуль его скорости и период обращения изменяются.

Пусть \(v_1\) — модуль скорости на первой орбите, \(v_2\) — модуль скорости на второй орбите, \(T_1\) — период обращения на первой орбите, и \(T_2\) — период обращения на второй орбите.

Мы можем использовать законы сохранения энергии и механической энергии для решения этой задачи.

Сначала рассмотрим закон сохранения энергии. По этому закону сумма кинетической и потенциальной энергии тела должна оставаться постоянной. Кинетическая энергия связана с модулем скорости, а потенциальная энергия — с расстоянием до центра притяжения (в данном случае до центра Земли).

На первой орбите кинетическая энергия космического корабля равна \(\frac{1}{2}mV_1^2\), а потенциальная энергия равна \(-\frac{GMm}{R_1}\), где \(m\) — масса корабля, \(G\) — гравитационная постоянная, \(R_1\) — радиус первой орбиты.

На второй орбите кинетическая энергия космического корабля равна \(\frac{1}{2}mV_2^2\), а потенциальная энергия равна \(-\frac{GMm}{R_2}\), где \(R_2\) — радиус второй орбиты.

Согласно закону сохранения энергии, эти суммы должны быть равными:

\(\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{GMm}{R_1} = \frac{1}{2}mV_2^2 - \frac{GMm}{R_2}\)

Упростив это уравнение, мы получаем:

\(\frac{1}{2}V_1^2 - \frac{GM}{R_1} = \frac{1}{2}V_2^2 - \frac{GM}{R_2}\)

Теперь, чтобы найти изменение модуля скорости (\(V_2 - V_1\)), мы можем решить это уравнение относительно \(V_2\):

\(\frac{1}{2}V_2^2 - \frac{GM}{R_2} = \frac{1}{2}V_1^2 - \frac{GM}{R_1}\)

\(\frac{1}{2}V_2^2 = \frac{1}{2}V_1^2 - \frac{GM}{R_1} + \frac{GM}{R_2}\)

\(\frac{1}{2}V_2^2 = \frac{1}{2}V_1^2 + GM\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)\)

\(V_2^2 = V_1^2 + 2GM\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)\)

Теперь мы можем вычислить \(V_2\) вычислитель. Чтобы найти изменение периода обращения (\(T_2 - T_1\)), мы можем использовать следующее соотношение между периодом и радиусом орбиты:

\(T = \frac{2\pi R}{V}\)

Выразим \(T_2\) и \(T_1\) через \(V_2\) и \(V_1\):

\(T_2 = \frac{2\pi R_2}{V_2}\)

\(T_1 = \frac{2\pi R_1}{V_1}\)

Тогда изменение периода обращения будет равно:

\(T_2 - T_1 = \frac{2\pi R_2}{V_2} - \frac{2\pi R_1}{V_1}\)

Подставим значение \(V_2\) из уравнения, которое мы получили выше:

\(T_2 - T_1 = \frac{2\pi R_2}{\sqrt{V_1^2 + 2GM\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)}} - \frac{2\pi R_1}{V_1}\)

Это и есть окончательный ответ. Вы можете использовать эту формулу для расчета изменений в модулях скорости и периода обращения космического корабля при перемещении с одной орбиты на другую большего радиуса вокруг Земли.