Как можно доказать, что одна из диагоналей трапеции перпендикулярна другой её боковой стороне, если одно основание

Marat_414

64

Для начала давайте вспомним, что такое трапеция. Трапеция - это многоугольник с двумя параллельными сторонами, которые называются основаниями, и двумя непараллельными сторонами, которые называются боковыми сторонами.

По условию задачи у нас есть трапеция, в которой одно основание в 2 раза меньше другого основания и равно одной из её боковых сторон. Представим данную трапецию и обозначим её стороны и углы.

Пусть основание большей длины обозначено буквой \(AC\) и имеет длину \(x\), а основание меньшей длины обозначено буквой \(BD\) и имеет длину \(\frac{x}{2}\). Также пусть боковая сторона трапеции обозначена буквой \(AB\) и имеет длину \(y\).

Теперь нарисуем диагональ трапеции \(AD\). Обратите внимание, что диагональ \(AD\) является общей стороной двух треугольников \(ABD\) и \(ACD\). Получаем следующую картину:

\[
\begin{array}{cc}
& \\
\backslash & / \\
A & D \\
\backslash & / \\
B & C \\
& \\
\end{array}
\]

Мы хотим доказать, что диагональ \(AD\) перпендикулярна стороне \(BC\). Для этого нам понадобится доказать, что треугольник \(ABD\) подобен треугольнику \(ACD\) и что сторона \(BC\) является высотой трапеции.

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\) подробнее. Так как сторона \(AB\) равна стороне \(AC\) (по условию), а сторона \(BD\) в 2 раза меньше стороны \(AC\), то по правилу "сторона-угол-сторона" эти два треугольника будут подобны друг другу.

Теперь рассмотрим сторону \(BC\). Заметим, что она перпендикулярна основанию \(AC\), так как она является общей стороной треугольников \(ABC\) и \(ADC\). Кроме того, сторона \(BC\) проходит через общую точку \(B\), где две высоты треугольников \(ABC\) и \(ADC\) пересекаются.

Таким образом, мы доказали, что одна из диагоналей трапеции \(\overline{AD}\) перпендикулярна боковой стороне \(\overline{BC}\).

Мы использовали подобие треугольников для доказательства перпендикулярности диагонали и боковой стороны трапеции.