Как можно доказать, что ребро МА перпендикулярно в тетраэдре МАВС? Верно ли утверждение о перпендикулярности ребер

Золотая_Пыль

49

Для доказательства, что ребро МА перпендикулярно в тетраэдре МАВС, мы можем использовать свойство векторного произведения векторов.

Дано, что точка Р является серединой ребра АВ и соотношение АР : ВР равно 2 : 3. Мы можем обозначить векторы \(\overrightarrow{АР}\) и \(\overrightarrow{ВР}\) как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно, и получим:

\[\vec{a} = \frac{2}{5} \overrightarrow{АВ}\]
\[\vec{b} = \frac{3}{5} \overrightarrow{АВ}\]

Также дано, что точка Q расположена на ребре АС и соотношение АQ : QC равно 2 : 1. Обозначим векторы \(\overrightarrow{АQ}\) и \(\overrightarrow{СQ}\) как \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) соответственно, и получим:

\[\vec{c} = \frac{2}{3} \overrightarrow{АС}\]
\[\vec{d} = \frac{1}{3} \overrightarrow{АС}\]

Теперь, чтобы доказать перпендикулярность ребра МА и ребра ВС, мы можем воспользоваться свойством векторного произведения, которое гласит, что если векторное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу.

Вычислим векторное произведение \(\vec{MA}\) и \(\vec{ВС}\). Для этого представим эти векторы в виде разности соответствующих векторов:

\[\vec{MA} = \vec{c} - \vec{a}\]
\[\vec{ВС} = \vec{b} - \vec{d}\]

Теперь рассчитаем векторное произведение:

\[\vec{MA} \times \vec{ВС} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{b} - \vec{d})\]

Раскроем это выражение с помощью свойств векторного произведения:

\[\vec{MA} \times \vec{ВС} = (\vec{c} \times \vec{b}) - (\vec{c} \times \vec{d}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{d})\]

Теперь подставим значения векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\):

\[\vec{MA} \times \vec{ВС} = \left(\frac{2}{3} \overrightarrow{АС} \times \frac{3}{5} \overrightarrow{АВ}\right) - \left(\frac{2}{3} \overrightarrow{АС} \times \frac{1}{3} \overrightarrow{АС}\right) - \left(\frac{2}{5} \overrightarrow{АВ} \times \frac{3}{5} \overrightarrow{АВ}\right) + \left(\frac{2}{5} \overrightarrow{АВ} \times \frac{1}{3} \overrightarrow{АС}\right)\]

Выполним вычисления:

\[\vec{MA} \times \vec{ВС} = \left(\frac{2}{15} \overrightarrow{АС} \times \overrightarrow{АВ}\right) - \left(\frac{2}{9} \overrightarrow{АС} \times \overrightarrow{АС}\right) - \left(\frac{6}{25} \overrightarrow{АВ} \times \overrightarrow{АВ}\right) + \left(\frac{2}{15} \overrightarrow{АВ} \times \overrightarrow{АС}\right)\]

Заметим, что умножение вектора на самого себя даёт ноль, поэтому:

\[\vec{MA} \times \vec{ВС} = \frac{2}{15} \overrightarrow{АВ} \times \overrightarrow{АС} - \frac{6}{25} \overrightarrow{АВ} \times \overrightarrow{АВ}\]

Теперь, если мы выполнили все вычисления правильно, то заметим что первое слагаемое равно нулю, так как угол между ребрами МА и ВС в тетраэдре равен нулю. Из этого следует, что ребра МА и ВС перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что ребро МА перпендикулярно в тетраэдре МАВС.