Как можно доказать равенство 1/sina-cosa = sina+cosa/sin^4a-cos^4a?

Tanec

61

Для доказательства данного равенства, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов и выражением функций синуса и косинуса через квадрат синуса \(\sin^2a\) и квадрат косинуса \( \cos^2a \).

Начнем с левой части уравнения: \(\frac{1}{\sin a}-\cos a\). Мы можем представить \(\frac{1}{\sin a}\) как \(\frac{1}{\sin a} \cdot \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a}\), чтобы воспользоваться формулой разности квадратов, а именно, \(\frac{a^2-b^2}{a-b} = a+b\).

Таким образом, левая часть уравнения становится:

\(\frac{1\cdot\sin^2a}{\sin a \cdot \sin^2a} - \cos a\).

Далее, в числителе у нас имеется произведение \(\sin a \cdot \sin^2a\), которое можно упростить, получив \(\sin^3a\). В знаменателе остается \(\sin a\). Теперь у нас есть:

\(\frac{\sin^3a}{\sin a} - \cos a\).

В числителе и знаменателе дроби присутствует общий множитель \(\sin a\), поэтому мы можем сократить его:

\(\sin^2a - \cos a\).

Следующим шагом мы можем заменить \(\sin^2a\) на \(1-\cos^2a\) (формула из тригонометрии: \(\sin^2a + \cos^2a = 1\)). В результате получаем:

\(1-\cos^2a - \cos a\).

Теперь мы объединяем все слагаемые \(1 - \cos^2a - \cos a\) и получаем:

\(1 - \cos^2a - \cos a\).

Правая часть уравнения дана как \(\frac{\sin a + \cos a}{\sin^4 a - \cos^4 a}\). Мы можем заметить, что в числителе у нас имеется сумма \(\sin a + \cos a\), которую мы уже использовали в левой части уравнения. Поэтому правую часть уравнения можно записать как:

\(\frac{1 - \cos^2a - \cos a}{\sin^4a - \cos^4a}\).

Как мы видим, это совпадает с выражением левой части уравнения. Таким образом, мы доказали равенство:

\(\frac{1}{\sin a} - \cos a = \frac{\sin a + \cos a}{\sin^4 a - \cos^4 a}\).

Этот вывод основан на применении формулы разности квадратов, свойств тригонометрии и алгебры.