Записать выражение для нахождения высоты H и радиуса основания r цилиндра максимального объема, если полная поверхность

Ледяная_Душа

12

Для начала, давайте определим известные данные. У нас есть полная поверхность цилиндра, которая равна \(6\pi\). Полная поверхность цилиндра состоит из основания и боковой поверхности.

Окончательное выражение для объёма цилиндра необходимо определить, чтобы найти связь между \(H\) и \(r\), поскольку мы ищем максимальный объем. Выражение для объёма цилиндра будет максимальным, когда либо высота, либо радиус будет наибольшим. Таким образом, нам необходимо записать выражение для объёма и продолжить с его оптимизацией.

Выражение для объёма \(V\) цилиндра можно записать следующим образом:

\[V = \pi r^2H\]

Теперь нам нужно записать выражение для полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух равных кругов (два основания цилиндра) и прямоугольника, который представляет собой боковую поверхность. Формула для полной поверхности цилиндра \(\text{P}\) выглядит следующим образом:

\[\text{P} = 2\pi r^2 + 2\pi rH\]

Учитывая, что у нас уже есть значение полной поверхности цилиндра \(\text{P}\), равное \(6\pi\), мы можем записать уравнение:

\[6\pi = 2\pi r^2 + 2\pi rH\]

Теперь, чтобы найти высоту \(H\) и радиус основания \(r\), мы можем разрешить это уравнение относительно \(H\):

\[2\pi rH = 6\pi - 2\pi r^2\]
\[H = \frac{6\pi - 2\pi r^2}{2\pi r}\]

Таким образом, окончательное выражение для \(H\) в зависимости от \(r\) будет:

\[H = \frac{3 - r^2}{r}\]

Аналогично, окончательное выражение для радиуса основания \(r\) в зависимости от \(H\) будет:

\[r = \sqrt{3 - \frac{H^2}{4}}\]

Это выражение будет давать нам значения радиуса и высоты цилиндра, соответствующие максимальному объему, если полная поверхность цилиндра равна \(6\pi\).