Как можно описать максимальное расстояние в этом случае: Иван и Петр двигаются в одном направлении по круговым

  • 39
Как можно описать "максимальное расстояние" в этом случае: Иван и Петр двигаются в одном направлении по круговым дорожкам, которые имеют общий центр. В начале движения они находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Иван полностью пробегает один круг каждые 20 секунд, а Петр - каждые 28 секунд. Через какое минимальное время они будут находиться на максимальном расстоянии друг от друга?
Gennadiy
39
Для решения этой задачи, нам нужно выяснить, когда Иван и Петр будут находиться на максимальном расстоянии друг от друга.

Давайте представим, что Иван и Петр начинают свои движения одновременно. Через каждые 20 секунд Иван полностью пробегает один круг, а через каждые 28 секунд Петр полностью пробегает один круг.

Допустим, что через \(t\) секунд Иван будет находиться на максимальном расстоянии от Петра. За это время Иван пробежит \(\frac{t}{20}\) кругов, а Петр пробежит \(\frac{t}{28}\) кругов.

Поскольку Иван и Петр движутся в одном направлении, мы можем определить их текущее положение, выразив их величины смещения относительно общего центра круговых дорожек.

Обозначим смещение Ивана как \(d_{\text{Иван}}\) и смещение Петра как \(d_{\text{Петр}}\). Изначально они находятся на минимальном расстоянии друг от друга, что означает, что их смещения \(d_{\text{Иван}}\) и \(d_{\text{Петр}}\) равны нулю.

Чтобы узнать, когда Иван и Петр будут находиться на максимальном расстоянии, нам нужно найти такое значение \(t\), при котором сумма их смещений будет равна половине общей длины круговых дорожек.

Поскольку Иван и Петр начинают свое движение одновременно и движутся с постоянной скоростью, мы можем записать следующее равенство:

\[\frac{t}{20} + \frac{t}{28} = \frac{1}{2}\]

Для упрощения этого равенства мы можем заменить числители на наименьшее общее кратное (НОК) 20 и 28, равное 140:

\[\frac{140t}{20 \cdot 140} + \frac{140t}{28 \cdot 140} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{7t}{140} + \frac{5t}{140} = \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем сложить две дроби и упростить уравнение:

\[\frac{7t + 5t}{140} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{12t}{140} = \frac{1}{2}\]

Умножим обе стороны уравнения на 140:

\[12t = 70\]

Теперь разделим обе стороны на 12, чтобы найти значение \(t\):

\[t = \frac{70}{12}\]

Это дает нам:

\[t \approx 5.83\]

Итак, через приблизительно 5.83 секунд Иван и Петр будут находиться на максимальном расстоянии друг от друга.