Каким образом вы нашли решение для уравнений х³+4х²+3х=0 и х⁴-20х²+64=0?

Антонович

59

Давайте начнем с решения уравнения \(x^3 + 4x^2 + 3x = 0\).

1. Сначала мы можем вынести общий множитель из выражения слева от знака равенства, чтобы упростить его. В данном случае общим множителем является \(x\).
Получаем: \(x(x^2 + 4x + 3) = 0\).

2. Теперь мы имеем произведение двух множителей, равное нулю. Согласно свойству нулевого произведения, это возможно только если хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Рассмотрим первый множитель \(x\). Очевидно, что \(x = 0\) является одним из решений данного уравнения.

4. Посмотрим на второй множитель \((x^2 + 4x + 3)\). Чтобы найти его корни, нам нужно решить квадратное уравнение. В данном случае оно имеет вид \(x^2 + 4x + 3 = 0\).

5. Чтобы найти корни квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) формула дискриминанта имеет вид: \(D = b^2 - 4ac\).

6. Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта для нашего уравнения: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\).

7. Дискриминант равен 4. Теперь мы можем использовать значение дискриминанта для определения количества и типа корней уравнения.

- Если дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
- Если дискриминант \(D = 0\), то у уравнения есть один удвоенный корень (корень кратности 2).
- Если дискриминант \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

8. В нашем случае дискриминант \(D = 4\), что означает, что у нас есть два различных корня.

9. Теперь мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения, которая есть: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 4\) и \(D = 4\).

10. Подставим значения в формулу и решим ее:

- Корень 1: \(x = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\).
- Корень 2: \(x = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3\).

11. Таким образом, решение уравнения \(x^3 + 4x^2 + 3x = 0\) состоит из трех корней: \(x = 0\), \(x = -1\) и \(x = -3\).

Теперь перейдем к решению уравнения \(x^4 - 20x^2 + 64 = 0\).

1. Давайте заметим, что это квадратное уравнение по переменной \(x^2\). Введем новую переменную \(y = x^2\).

2. Заменяя \(x^2\) на \(y\), уравнение примет вид: \(y^2 - 20y + 64 = 0\).

3. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя стандартные методы.

4. Попробуем решить его, предполагая, что это уравнение имеет два различных корня. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта.

- Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -20\) и \(c = 64\).
- Подставим значения и рассчитаем дискриминант: \(D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144\).

5. Получили, что дискриминант \(D = 144\). Так как значение дискриминанта положительное, это означает, что уравнение имеет два различных корня.

6. Теперь мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения, которая есть: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -20\) и \(D = 144\).

7. Подставим значения и решим уравнение:

- Корень 1: \(y = \frac{-(-20) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 12}{2} = 16\).
- Корень 2: \(y = \frac{-(-20) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 12}{2} = 4\).

8. Мы нашли два значения для переменной \(y\) – \(y_1 = 16\) и \(y_2 = 4\).

9. Чтобы найти значения для \(x^2\), мы заменяем \(y\) обратно на \(x^2\).

- Для \(y_1 = 16\): \(x^2 = 16 \implies x = \pm \sqrt{16} \implies x = \pm 4\).
- Для \(y_2 = 4\): \(x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x = \pm 2\).

10. Получили четыре значения для \(x\) – \(x_1 = 4\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = -2\).

11. Таким образом, решение уравнения \(x^4 - 20x^2 + 64 = 0\) состоит из четырех корней: \(x = 4\), \(x = -4\), \(x = 2\) и \(x = -2\).

Надеюсь, данное пошаговое решение понятно и помогло вам разобраться в данной задаче.