Как можно переписать алгебраическую сумму тригонометрических функций 4cos 3a/2 cosa sin a/2?

Сверкающий_Пегас

18

Для начала, давайте перепишем выражение в алгебраической форме. У нас имеется сумма двух тригонометрических функций, а именно \(4\cos(\frac{3a}{2})\cos(\frac{a}{2})\sin(\frac{a}{2})\).

Чтобы переписать эту сумму в алгебраической форме, мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса. Формула звучит следующим образом:

\[\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\]

Теперь применим эту формулу к выражению \(\cos(\frac{3a}{2})\cos(\frac{a}{2})\). Для этого заменим \(\cos(\frac{3a}{2})\) на \(\cos(\frac{2a}{2}+\frac{a}{2})\) и \(\cos(\frac{a}{2})\) на \(\cos(\frac{a}{2})\):

\(\cos(\frac{3a}{2})\cos(\frac{a}{2}) = \cos(\frac{2a}{2}+\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2})\)

Теперь применим формулу двойного угла для косинуса:

\(\cos(\frac{2a}{2}+\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2}) = [\cos^2(\frac{2a}{2}) - \sin^2(\frac{2a}{2})]\cos(\frac{a}{2})\)

Используем то, что \(\cos^2(\frac{2a}{2}) = \cos^2(a)\) и \(\sin^2(\frac{2a}{2}) = \sin^2(a)\):

\([\cos^2(a) - \sin^2(a)]\cos(\frac{a}{2})\)

Заменим \(\cos^2(a) - \sin^2(a)\) на \(\cos(2a)\) (так как это тождество):

\(\cos(2a)\cos(\frac{a}{2})\)

И наконец, мы можем упростить это выражение:

\(\cos(2a)\cos(\frac{a}{2}) = 4\cos(\frac{a}{2})\cos(2a)\)

Таким образом, мы переписали исходное выражение \(4\cos(\frac{3a}{2})\cos(\frac{a}{2})\sin(\frac{a}{2})\) в алгебраической форме как \(4\cos(\frac{a}{2})\cos(2a)\).