Как можно разложить вектор XY-→ по векторам FE-→- и FA-→-?

Марина

45

Для разложения вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{FA}\), мы можем использовать правило параллелограмма или метод компонентов. Давайте рассмотрим оба способа.

1. Разложение с использованием правила параллелограмма:
- Нарисуйте векторы \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{FA}\) так, чтобы их начала совпадали с началом вектора \(\overrightarrow{XY}\).
- Постройте параллелограмм, используя эти два вектора \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{FA}\). Обозначим соответствующую диагональ этого параллелограмма как \(\overrightarrow{ZA}\).
- Теперь вектор \(\overrightarrow{XY}\) может быть разложен на два вектора: \(\overrightarrow{XZ}\) и \(\overrightarrow{ZY}\).
- Отметим, что \(\overrightarrow{XZ}\) равен \(\overrightarrow{FE}\), так как он является одним из ребер параллелограмма.
- А \(\overrightarrow{ZY}\) равен \(\overrightarrow{FA}\), так как он является другим ребром параллелограмма.
- Итак, разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) будет: \(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XZ} + \overrightarrow{ZY}\).
- Заменяя \(\overrightarrow{XZ}\) на \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{ZY}\) на \(\overrightarrow{FA}\), мы получаем окончательный ответ: \(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FA}\).

2. Разложение с использованием метода компонентов:
- Для этого метода, нам необходимо знать величину (модуль) и направление векторов \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{FA}\).
- Представим вектор \(\overrightarrow{XY}\) как сумму двух векторов - горизонтального и вертикального.
- Разложим \(\overrightarrow{XY}\) по оси X и оси Y, используя проекции вектора \(\overrightarrow{XY}\) на эти оси.
- По определению проекции \(\overrightarrow{XY}\) на \(\overrightarrow{FE}\), искомая проекция будет равна \( \overrightarrow{XY} \cdot \cos(\Theta)\), где \(\Theta\) - это угол между векторами \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{FE}\).
- Аналогично, проекция вектора \(\overrightarrow{XY}\) на \(\overrightarrow{FA}\) будет равна \( \overrightarrow{XY} \cdot \cos(\Phi)\), где \(\Phi\) - это угол между векторами \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{FA}\).
- Полученные проекции являются компонентами разложения вектора \(\overrightarrow{XY}\).
- Итак, разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{FA}\) будет:
\[\overrightarrow{XY} = (\overrightarrow{XY} \cdot \cos(\Theta)) \cdot \frac{\overrightarrow{FE}}{\lVert \overrightarrow{FE} \rVert} + (\overrightarrow{XY} \cdot \cos(\Phi)) \cdot \frac{\overrightarrow{FA}}{\lVert \overrightarrow{FA} \rVert}\]

Это два способа разложения вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{FA}\). Используя любой из этих методов, вы можете получить требуемое разложение вектора.