Как можно разложить вектор XY−→ по векторам KN−→− и KM−→−?

Podsolnuh

59

Чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\), мы можем использовать метод компонентов. Давайте разложим \(\overrightarrow{XY}\) по оси, параллельной вектору \(\overrightarrow{KM}\) и по оси, перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{KM}\).

Для начала, нам нужно выразить вектор \(\overrightarrow{XY}\) в терминах векторов \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\). Обозначим векторы следующим образом:

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MY}\)

Теперь мы можем разложить каждый из этих векторов относительно \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\):

1. Разложение \(\overrightarrow{KN}\):
\(\overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KN}\) (поскольку это вектор, сонаправленный сам с собой)

2. Разложение \(\overrightarrow{NM}\):
\(\overrightarrow{NM}\) - это вектор, соединяющий точки N и M. Мы хотим разложить его по векторам \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\).

Разложим \(\overrightarrow{NM}\) на две компоненты: одну параллельную вектору \(\overrightarrow{KN}\) и другую перпендикулярную этому вектору. Обозначим эти компоненты как \(\overrightarrow{NM}_{\parallel}\) и \(\overrightarrow{NM}_{\perp}\):

\(\overrightarrow{NM}_{\parallel} = \frac{\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{KN}}{\|\overrightarrow{KN}\|^2} \cdot \overrightarrow{KN}\) (проекция \(\overrightarrow{NM}\) на \(\overrightarrow{KN}\))

\(\overrightarrow{NM}_{\perp} = \overrightarrow{NM} - \overrightarrow{NM}_{\parallel}\)

Теперь мы можем записать разложение \(\overrightarrow{NM}\) по векторам \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\):

\(\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM}_{\parallel} + \overrightarrow{NM}_{\perp}\)

3. Разложение \(\overrightarrow{MY}\):
\(\overrightarrow{MY} = -\overrightarrow{KM}\) (поскольку \(\overrightarrow{MY}\) и \(\overrightarrow{KM}\) - это противоположные направления)

Теперь, объединив все разложения, мы можем записать разложение \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\):

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{NM}_{\parallel} + \overrightarrow{NM}_{\perp} - \overrightarrow{KM}\)

Итак, мы разложили вектор \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KM}\) с помощью метода компонентов.