Как можно разложить выражение (1+х)^5 по степеням x? Какой будет результат возведения трехчлена a+b+c в третью степень?

Tropik_5108

26

Давайте начнем с разложения выражения \((1+x)^5\) по степеням \(x\).

Мы можем использовать бином Ньютона для этого разложения. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:
\[(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n}a^0 b^n\]

Где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент и вычисляется по формуле:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Давайте применим эту формулу к нашему выражению \((1+x)^5\):

\((1+x)^5 = \binom{5}{0}1^5 x^0 + \binom{5}{1}1^4 x^1 + \binom{5}{2}1^3 x^2 + \binom{5}{3}1^2 x^3 + \binom{5}{4}1^1 x^4 + \binom{5}{5}1^0 x^5\)

Теперь давайте вычислим каждый из биномиальных коэффициентов и упростим выражения:

\(\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{5!}{0!5!} = \frac{1}{1} = 1\)
\(\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5}{1} = 5\)
\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{10}{2} = 5\)
\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{10}{2} = 10\)
\(\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5\)
\(\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{1}{1} = 1\)

Теперь мы можем заменить значения биномиальных коэффициентов и записать окончательный результат:

\((1+x)^5 = 1 \cdot 1^5 x^0 + 5 \cdot 1^4 x^1 + 10 \cdot 1^3 x^2 + 10 \cdot 1^2 x^3 + 5 \cdot 1^1 x^4 + 1 \cdot 1^0 x^5\)

Упрощая, мы получаем:

\((1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5\)

Теперь перейдем к следующему вопросу: какой будет результат возведения трехчлена \(a+b+c\) в третью степень.

Для этого возведем каждый член в третью степень и применим формулу раскрытия скобок:
\((a+b+c)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3\)

Итак, результат возведения трехчлена \(a+b+c\) в третью степень будет:
\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3\)

Надеюсь, это решение и объяснение помогли вам понять, как разложить выражение \((1+x)^5\) по степеням \(x\) и что будет результатом возведения трехчлена \(a+b+c\) в третью степень. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.