Как можно выразить вектор ac и вектор bd через вектор ab (вектор a) и вектор bc (вектор b), если в трапеции abcd

Лисенок

28

Чтобы выразить векторы \(\overrightarrow{ac}\) и \(\overrightarrow{bd}\) через \(\overrightarrow{ab}\) (вектор \(\overrightarrow{a}\)) и \(\overrightarrow{bc}\) (вектор \(\overrightarrow{b}\)) в трапеции \(abcd\), где основания \(ad\) и \(bc\) такие, что \(ad = 2bc\), мы можем использовать следующие свойства векторов.

Сначала рассмотрим вектор \(\overrightarrow{ac}\). Мы можем выразить его как сумму векторов \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{bc}\). Таким образом, мы можем записать:

\[\overrightarrow{ac} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc}\]

Теперь рассмотрим вектор \(\overrightarrow{bd}\). Мы можем выразить его как разность векторов \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{ad}\). Так как \(\overrightarrow{ad}\) соответствует утверждению, что \(ad = 2bc\), то мы можем записать:

\[\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{ab} - \overrightarrow{ad}\]

Используя эти выражения, мы можем выразить векторы \(\overrightarrow{ac}\) и \(\overrightarrow{bd}\) через векторы \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{bc}\) в данной трапеции.

Например, если мы знаем, что \(\overrightarrow{ab} = 3\hat{i} + 2\hat{j}\) и \(\overrightarrow{bc} = -\hat{i} + 4\hat{j}\), то:

\[\overrightarrow{ac} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) + (-\hat{i} + 4\hat{j}) = 2\hat{i} + 6\hat{j}\]

\[\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{ab} - \overrightarrow{ad} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) - (2\overrightarrow{bc}) = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2(-\hat{i} + 4\hat{j}) = 5\hat{i} - 6\hat{j}\]

Таким образом, векторы \(\overrightarrow{ac}\) и \(\overrightarrow{bd}\) выражены через векторы \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{bc}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{ac} = 2\hat{i} + 6\hat{j}\)

\(\overrightarrow{bd} = 5\hat{i} - 6\hat{j}\)