Как можно выразить вектор MA−→− через векторы z→ в данном параллелограмме KLMN?

Печенье

36

Чтобы выразить вектор \(\overrightarrow{MA}\) через векторы \(\overrightarrow{z}\) в параллелограмме KLMN, нам нужно использовать свойство параллелограмма, которое говорит о том, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма KLMN как точку O. Тогда вектор \(\overrightarrow{MO}\) и вектор \(\overrightarrow{NO}\) являются половинными диагоналями параллелограмма и равны между собой.

Опираясь на это свойство, мы можем записать:
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}\)

Так как \(\overrightarrow{MO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NO}\), то \(\overrightarrow{MO}\) можно также представить как половину вектора \(\overrightarrow{NO}\), т.е. \(\overrightarrow{MO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NO}\).

Подставим это в выражение для \(\overrightarrow{MA}\):
\(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OA}\)

Теперь осталось выразить \(\overrightarrow{NO}\) через векторы \(\overrightarrow{z}\). Обратим внимание, что \(\overrightarrow{NO}\) является диагональю параллелограмма KLMN и соединяет точки K и M.

Таким образом, мы можем записать:
\(\overrightarrow{NO} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MO}\)

Опять же, используя свойство параллелограмма, диагонали делятся пополам, и \(\overrightarrow{NM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{KL}\).

Подставим это в выражение для \(\overrightarrow{NO}\):
\(\overrightarrow{NO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{KL} + \frac{1}{2} \overrightarrow{NO}\)

Теперь мы можем выразить \(\overrightarrow{NO}\) через векторы \(\overrightarrow{KL}\) и \(\overrightarrow{NO}\):
\(\overrightarrow{NO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{KL} + \frac{1}{2} \overrightarrow{NO}\)

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в исходное выражение для \(\overrightarrow{MA}\):
\(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{KL} + \frac{1}{2} \overrightarrow{NO}\right) + \overrightarrow{OA}\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{MA}\) может быть выражен как:
\(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{4} \overrightarrow{KL} + \frac{1}{4} \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OA}\)

Это и есть искомое выражение вектора \(\overrightarrow{MA}\) через векторы \(\overrightarrow{KL}\), \(\overrightarrow{NO}\) и \(\overrightarrow{OA}\).