Точка О взята внутри треугольника MNK так, что угол MON равен углу NOK, а отрезок MO равен отрезку KO. Докажите

Skvorec

64

а) Чтобы доказать, что угол NMK равен углу NKM, мы воспользуемся свойством равенства углов. Поскольку угол MON равен углу NOK, мы можем сказать, что эти углы равны между собой:

\(\angle MON = \angle NOK\) (1)

Также, по условию задачи, отрезок MO равен отрезку KO:

MO = KO (2)

Теперь, давайте рассмотрим треугольник MON и треугольник KON. У этих треугольников совпадают стороны MO и KO (по условию) и углы MON и NOK (по равенству углов из (1)). Поэтому мы можем сказать, что эти треугольники равны друг другу по стороне-угол-стороне (С-У-С):

Треугольник MON ≅ Треугольник KON (С-У-С) (3)

Из этого следует, что угол NKM равен углу NMK, так как соответствующие углы равны в равных треугольниках:

\(\angle NKM = \angle NMK\) (4)

Следовательно, мы доказали, что угол NMK равен углу NKM.

б) Чтобы доказать, что прямая NO проходит через середину отрезка MK, мы воспользуемся свойством равенства сторон треугольника. Мы уже знаем, что стороны MO и KO равны (по условию задачи). Теперь рассмотрим треугольник MKN.

Поскольку угол MON равен углу NOK, мы можем сказать, что эти углы равны между собой:

\(\angle MON = \angle NOK\) (5)

Также, из равенства сторон MO = KO (по условию задачи) следует, что

\(\triangle MON = \triangle NOK\) (С-У-С) (6)

Отсюда следует, что стороны MK и NK тоже равны:

MK = NK (по свойству равенства сторон в равных треугольниках) (7)

Таким образом, отрезок NO является высотой треугольника MKN, а также делит сторону MK пополам. Следовательно, прямая NO проходит через середину отрезка MK.

Мы доказали, что угол NMK равен углу NKM и что прямая NO проходит через середину отрезка MK.